丁石孙先生是我国著名的数学家，他为中国的数学发展做出了重要贡献。他曾多次谈到数学的重要性并呼吁社会关注数学教育。今天，我们分享丁石孙先生《数学的力量》一文，缅怀并感受他为数学教育倾注的毕生心血。
数学的作用不局限于它是一门知识，更不仅仅是工具，在整个教育过程中，数学对人才的培养具有很重要的作用。哪个学科一旦与数学的某个问题挂钩，往往就能够得到一个飞跃的发展，这方面的例子很多。
20世纪80年代，Hauptmann获得诺贝尔化学奖，解决的是如何用X光确定晶体结构的问题。Hauptmann曾经说过：我的化学水平就是在大学念了半年普通化学，其他我不懂。实际上，他解决用X光确定晶体结构的问题主要靠的是数学。数学往往能够对不同的学科起作用，但是，对什么学科起作用，以什么样的方式起作用，并不是人们事先能够预料的。
从科学发展来看，数学和许多学科都发生过密切的关系，数学的发展和许多学科的发展都起着相辅相成的作用——或者是数学的发展促进了其他学科的发展，或者是其他学科向数学提出了一些具体问题，反过来推动了数学的发展。有人说，数学是科学的王后。这个说法很多数学家都不赞成。数学并不是孤立于其他学科高高在上的，而是和其他学科相辅相成，共同促进，共同发展的。把数学与其他学科的关系说成是一种伙伴关系也许更恰当一些。
从历史的发展看，数学对于推动科学的发展起了什么作用呢？先来看看计算机设计思想的产生。大家知道，世界上第一台计算机出现在1946年。计算机最早设计思想的提出可以追溯到20世纪初。1900年，数学家Hilbert在世界第二次数学家大会上提出了23个问题——这件事学数学的人都知道。这23个问题一方面总结了19世纪数学的发展，同时指出了20世纪数学应该向哪些方面发展，对于20世纪的数学研究产生了很大影响。
在这23个问题中有一个问题是：有没有一个方法，能够判断一个整系数的多元多项式组有没有有理数解，或者有没有整数解。按照数学的语言来说，就是能不能有个算法。这个问题引起了一部分数学家的注意，希望有一个明确的回答。但是，经过了30多年，人们逐渐发现这个算法是没有的。
在数学里，要证明“有”在某种程度上比较容易，要证明有，你就要给出一个算法，用这个算法就能判断。但是，你要说“没有”，就需要说明什么叫算法。
可以说算法是很死的方法，当然这不是严格的数学语言，但人们通常可以理解。如果你要证明这样的东西是不存在的，仅靠这样理解还不行。所以，直到1936年前后，才有数学家给算法下了定义。科学发展中常常会出现种奇怪的现象，那就是一个问题经过很多年不能解决，但到了某一个时候，同时好几个人以不同的方式解决了这个问题。给算法下定义的问题也是如此。1936年前后，有几个人给出了算法的定义。
其中有一种算法的定义，现在叫做Turing机器。Turing机器是个理想的计算机，它已经比较接近现在计算机的设计思想。可以说Turing机的定义，就是后来的计算机设计思想的重要来源。从这里可以看出，一开始提出来的是一个纯数学的问题，根本没想到设计计算机。但是你要解决这个问题就必须给算法下个定义。现在能发生这么大作用的计算机，根源是一个数学问题，而且研究这个数学问题事先根本没想到会产生这么大影响。
这个例子说明，从一个纯数学问题出发进行研究，结果不仅解决了数学问题，而且对其他学科产生了重要影响。
又如“群论”。现在搞数学的都知道群是个什么概念。但群的定义的出现，是20世纪50年代的事，最早是从解方程出来的。大家知道解一元二次多项式，它的解是所谓根号，这个问题大约在2000年前人们就知道，大家已在初等数学中学过。这其中有一个有趣的过程：要把根通过系数表达出来。
二次方程解决了，很容易就会想到三次怎么样，就是一元二次方程有没有类似的公式。差不多到15世纪，二次方程就解出来了，那个公式就非常复杂了。不久解四次方程的公式也出来了。数学家有个癖好，就老想推广，既然二次的公式有了，三次的公式有了，四次的公式也有了，那么五次怎么样？大家就想五次也应该有，可是没想到在五次方程这个问题上遇到了很大的问题，差不多经过了几百年，一直到19世纪开始都没能解决这个问题。
19世纪30年代，法国有个叫Galois的年轻数学家，就提出了一个Galois理论：就是他给出了一个方法，能够判定多少次方程的根能够用系数表达出来。所谓表达出来，就是用加减乘除和开方（不一定开平方）表达出来。这样的话，就提出了群的概念，这个问题最终是用群的方法解决的。开始这个结果被送到法国科学院，科学院里一个很重要的科学家认为是胡说八道，所以就一直没人理睬。
一直到19世纪50年代才正式发表出来，这样群的概念就提出来了。Galois的这个结果在20年之后才得到承认。群的概念纯粹是从一个数学问题提出，但提出之后，首先用来解决的是化合物中晶体究竟有几种的问题。在19世纪末至20世纪初，俄国的化学家就利用群的概念解决了晶体结构有多少种。群的概念实际上是对称性的一个很好度量，可以解决对称性用什么来度量，也就是它的变换群是什么结构，有多少。
这又是一个纯粹从数学里提出的问题，但用处远远超出了数学的例子。数学中这样的例子还可以举出很多。
下面这个例子，说明了实际的需要是怎样促进数学的发展。第二次世界大战时，德国的空军力量很强，飞机数量多，质量也好。为了解决如何以处于劣势的空军打败德国空军的问题，美国找了一批数学家，冯·诺依曼是其中之一。结果冯·诺依曼通过研究这个问题发现了博弈论。近几十年来，博弈论很重要的一个用途是用来研究经济数学，它已发展成为经济数学不可缺少的基础。
数学研究的对象究竟是什么呢？这个问题很不容易说清楚。
过去说的数学的定义是恩格斯在《自然辩证法》中提出来的，他说数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的。恩格斯这个定义是19世纪提出来的，随着20世纪数学的发展，很多东西用这个定义概括不了。说到数量关系，就是说数学是研究数的运算，但随着数学的发展，数学运算的对象远远超出了数。譬如群论，它运算的对象是群元素。甚至还有其他的，可以说它与运算毫无关系，所以，说数学是研究数量关系，就已经不够了。
还有被当时理解为客观世界的空间形式，就是通常说的三维空间。但是，几何学研究里已经远远超出了三维，涉及到四维、五维、多维，甚至无数维。所以如果再拿19世纪的定义来概括数学就显得不够。
如何给数学下一个定义呢？到现在为止还没有一个定义令人满意。这也说明数学的定义很难下。比如有人提出，数学是研究量的，把“数”字去掉，他说有“数”呢，就显得太死了，数就是整数、分数。那么什么叫量呢？所谓量是一个哲学概念。
现在有人说数学研究的是秩序，也就是说研究数学的目的是为了给世界以秩序，这种说法不是数学语言。想想也有点道理，但是也说不太清楚。从这里可以看出一条，因为数学的研究对象是抽象的，数学与其他的自然科学和社会科学不一样，这些学科有非常具体的对象，而数学没有。数学之所以既能用到自然科学，又能用到社会科学，甚至人文科学，就是因为它是抽象的。
数学研究对象的抽象性首先有一条，就是能够训练人们一种思维方法——抽象思维方法。数学里即使从自然数开始，就已经是非常抽象的概念了，要经过很多层抽象才能够得出数的概念。所以，历史上经过了很长的时间，多数和单数才被人们区分开来。只要研究了数学发展史，就会发现，数的概念的形成是很不容易的。所以，学数学可以训练人的抽象思维能力。抽象这种思想方法为什么这么重要呢？
因为人们要把握住事物的本质，就必须去掉很多不重要的东西，要舍弃很多非本质的东西，就必须通过抽象的思维方式解决。抽象的思想方法对于研究科学，甚至处理日常生活出现的问题都是重要的。
如果没有抽象的能力，就不容易分清究竟现在要解决的是什么问题。这是数学突出的特点，即它的抽象性。数学的抽象性使得数学可以广泛地应用于很多方面，即使是完全不同的方面。
第二个特点，因为数学的抽象性，所以对数学对象的定义必须讲得非常清楚。而其他学科对定义的要求就不太一样，一般可以大概描述一下那是什么东西，听的人就能够明白。可是数学因为它的对象抽象，描述是不行的，必须有严格的定义。数学里定义非常重要，这一点大家都能体会到。我在教学中就发现，其他系的老师到数学系讲课，往往遇到一个很大的困难。
因为经过一段数学学习，学生什么都问定义，比如物理系的教师来讲课，他讲到“力”，学生就要求给“力”下定义，这非常困难。老师很难用几句话把“力”刻画清楚。不像数学里讲“圆”，就是从一点等距离的轨迹，说得很清楚。
化学里很多东西也都可以通过描述大家就能懂，并且很清楚，不需要下定义。数学为什么对定义有这么严格的要求？就因为它的对象抽象，如果不通过定义把它界定清楚，就没法讨论。
所以，数学里要求对概念的描述非常准确。我经常开玩笑说，学数学的人是非常笨的，他听的东西，只要那个定义没说清楚，他就听不懂。在这个意义上说，有它的好处，也有它的坏处。坏处就是，什么都要问定义，也会有问题，并不是所有的东西都可以下定义。所以，数学的第二个特点就是它要求对概念非常准确地刻画。
数学的第三个特点是它的逻辑的严格性。
因为它是抽象的，所以它的展开只能靠逻辑，这一点对人们来说也是非常重要的训练，这可以从平面几何来理解。学了平面几何究竟起什么作用？年轻的时候，也就是念了大学的数学以后，我就宣称平面几何没有用。20世纪50年代，我参加过中学数学的教学改革，我经常说平面几何应该取消。
当过几年教员以后，我就发现学过平面几何的学生与没有学过平面几何的学生有一点不一样，就是如果要证明一个问题，学过平面几何的学生很容易接受，没有学过平面几何的学生接受就比较困难。“文革”期间的学生，如果讲证明三角形三个角之和等于180度，他们很多人就会提出来，这么简单的问题还需要证明吗？拿量角器量一下不就行了，搞得我们的教员啼笑皆非。
这就说明，逻辑思维的能力是需要通过一些具体的东西来培养的，平面几何就是培养人们逻辑思维能力的很好的媒介。
数学课有这么三个特点。通过学习数学，能够获得很好的思维习惯和思维方法，在无形中会对人们起作用。数学与其他学科的关系不光是互相促进，重要的一点是，数学给人的不仅是知识，而且是思维方法，数学实际上是文化的一部分。数学是理性和思维的典型，数学的上述三个特点都是关于理性思维的。数学还是文化的一部分。
在中国的传统文化里，理性思维是不太受重视的。有人举例说，文艺复兴以后，西方很多哲学家都喜欢搞哲学体系，这是他们的习惯。这个习惯好还是不好，另当别论。中国就很不同，中国很重要的典籍《论语》是语录体。里面很多话是警句，把要点指出来，并没有论述，也不需要论述，你一听就有所体会。这就反映了中国的思维习惯。中国传统的数学书有个特点，就是里面都是例子。
比如数学里很重要的理论孙子剩余定理，在中国数学书里孙子剩余定理就是告诉你三三数之余几，五五数之余几，七七数之余几，它编了个口诀，根据这个口诀一算，结果就出来了。它既没有证明，也没有形成一个体系，这是中国数学的一个特点，也是中国文化的一个特点。
数学是文化的一部分，数学中体现的是一种思维的模式，数学学习也是训练人的逻辑思维能力的一种重要方式。
过去我们在教学改革中曾经提出，通过上逻辑课直接获得逻辑思维能力，在中学还专门开了形式逻辑课，但最后证明效果很差。关于逻辑思维的一些规律讲了半天学生也听不懂，更不会用。后来才承认人的逻辑思维能力是不能通过上逻辑课来培养的。平面几何最大的好处，是它的内容非常直观，通过平面几何这个载体可以有效地培养人的逻辑思维能力。数学理论逻辑非常严密，人们无法把逻辑从具体内容中抽出来单独讲，这样谁也听不懂，也学不会。
通过数学的学习，逻辑思维的能力慢慢就提高了。数学是文化的一部分，通过数学的学习，可以培养人的能力，也可以提高人的素质。数学知识可以分两种，一种是比较基础的，一定要学通；还有一种属于提高的，这些等到要用的时候再学还来得及。比如十几年前，大家都感到计算机的用途前景广阔，于是就学习计算机语言。计算机语言要学一点，但是后来的经验是，语言学多了也没有用。语言有个特点，学了不用很快就会忘记。
还有一点就是计算机技术发展很快，计算机与人的关系越来越近，学起来也很容易。
概括起来说，数学不只是知识，它同时培养人的能力，提高人的素质。素质说起来就虚一点。有的同志经常说数学是美的享受，这话我就不大懂。你说数学很美，有些时候你是可以说它非常美，但我就不大体会这个美的享受对我有多大作用。数学是美的享受，这话可以说，但不能过分夸。不管怎么说，数学是一门很特殊的科学，它能给人一种无形中的影响。记住一位数学家讲过这样一句话：今天数学教育的质量，决定着我们明天科学人才的水平。