1840年左右在三一学院举行的“三足凳”考试现场。图片转引自（Warwick 2003，p.124）
导读：在涉及18-19世纪英国科学与教育的读物中，经常会看到Tripos和Wrangler这两个单词。前者源自tripod，指具有三个支撑点的桌、凳、鼎等物，后者则指争辩者；而在一两百年前的英国大学，特别是19世纪的剑桥大学，它们专指一种特别的数学荣誉考试及其“优胜者”。
有人认为，19世纪下半叶英国在数学物理方面的突飞猛进，在一定程度上与这种考试制度有关（Andrew Warwick, Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2003）。
其实何止数学物理，同时期英国在数理逻辑、代数、几何以及数学分析领域的伟大成就，很多都出自这一考试的“优胜者”。
亲历者的回忆，赖特（J.M.F.Wright）在回忆剑桥生活的书中有一段有趣的描述，提到自己在学院的数学老师本是1799年“三足凳”考试的榜眼布朗（John Brown），1816年底也就是赖特升入大学第二年时，意外得到一笔来自朋友的资助，因此才有能力支付额外的“私教”费用，于是另外找到一位叫布拉斯（John Brass）的老师，后者是1811年“三足凳”考试的第六名，在当时的“私教”圈中小有名气。
由于约定的培训名额已满，布拉斯让他次日晨祷前在三一学院大庭院见面，第二天清晨6时，赖特冒着严寒如约来到布拉斯的办公室，后者从冰冷的被窝里爬起来，身上还穿着睡衣，要求赖特先默写一些重要代数定理（如牛顿的二项式定理）的优雅证明，随后回到一旁的卧室更衣，时不时还瞟一眼忙碌中的学生，这就是布拉斯给学生的见面礼。
谈到学院正规授课与“私教”的区别，赖特说最大的不同是后者能够根据学生的资质因材施教，按照特定的学习进度来训练学生。
他说布拉斯特别强调思考的速度，还提到自己通过“私教”不但学习牛顿的《原理》，而且也研读蒙日（Gaspard Monge, 1746-1818）的几何、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813）的分析力学与拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace, 1749－1827）的天体力学。
沃德（Joseph Ward）是1876年“三足凳”考试的状元，也是著名“教练”饶思（Edward John Routh, 1831-1907）的弟子。他在日记中留下了一段有趣的记载，提到为了准备考试，他与同在圣约翰学院的两个同学制定了一个严格的作息计划，在考前的九个月内互相督促，约定如下：
1. 每天早晨7:35（周日8:45）起床；
2. 午餐前学习5小时；
3. 下午至少锻炼1小时；
4. 午后（含晚间）学习3小时；
5. 晚11:00停止所有活动并在11:30以前上床（星期六延至午夜12:00）；
6. 违反以上第1条者罚款3便士，同日内违反其余5条之一者罚款1便士；
7. 工作日6:35-7:35之间吵醒他人的记罚半个便士，周日7:45-8:45之间同此；
8. 8:00以前的学习要记入当日上午或午后的时间（即总学时5+3小时）；
9. 教会活动占用的时间抵半计算，遇此情况当日中止学习时间可延至11:30，最迟上床时间12:00；
10. 本协定对每个人具有约束力，一致同意方可修改。
福赛斯（Andrew Russell Forsyth, 1858-1942/1881 SW/Trinity）是1881年“三足凳”考试状元，毕业后先后在剑桥、利物浦和伦敦帝国理工任教。
他自称是凯莱（Arthur Cayley, 1821-1895）的学生，后者是英国当时数学第一名家，也是三一学院的招牌教授。福赛斯在数学方面没有特别的贡献，写过一些教科书（后来受到利特伍德的批评）。为了准备“三足凳”考试，他也参加了饶思的训练班。
据他回忆，当时正是“饶思人”（Routh’s Men）最火爆的时候，其名下共有四个年级的120名学生，被分成9至10个小组，福赛斯与其他五六个人属于顶尖的第一组，也就是最有希望获得“优胜者”（Wrangler）荣誉的几名学生。无论哪个组，一学期8周、每周三次课，每次课1小时，长假的6或7周照常，不会多也不会少，忙碌的时候饶思要工作到晚上10点。
从一年级冬季学期（Michaelmas term）开始，到第四年春夏季学期（Easter term）间参加考试，共有10个学期和3个长假，一个完整的训练课程大约是600课时。福赛斯所在的那个小组，无论寒冬酷暑都是早晨8:15开始，通常以几分钟的习题测验开始，余下时间则按照进度讲解连贯的题材，其内容有别于学院的课程，重点在于指导学生熟悉未来考试的基本框架。
对此饶思了如指掌，他会传授一些考试的技巧，强调思考与书写的速度，告诉学生遇到难题先跳过去，如有时间再回过头来尝试解决。最后他会布置若干习题，通常是6道，大多数与下一次课的内容有关。另外，每周还会发一张纸的问题汇编，所有小组一视同仁。
若干周后搞一次模拟考试，不限时，但期望学生们在3小时内完成，周五或周六交回答卷，下个周一上午所有人来到大教室，饶思发回批阅过的试卷，由此学生可以粗略估计自己的水平和在竞争者中的位置。
上述回忆出自福赛斯1935年3月2日在英国数学会西南威尔士分会上的致辞，后来以“剑桥的老‘三足凳’日子”为题发表在《数学公报》上。
饶思的另一位弟子皮尔逊（Karl Pearson, 1857-1936/1879 3W/King's）在1879年“三足凳”考试中名列第三级，看到福赛斯的文章后非常不满，也写了篇文章登在第二年的《数学公报》上。皮尔逊的文章，从标题到内容都与福赛斯针锋相对，几乎对后者的每一项负面指控都作了反驳。他与饶思的第一次会面及日后的情谊，上篇已经提到了，这里不重复。
皮尔逊强调老“三足凳”考试有两个明显的优点：首先它对数学众多分支的基本原理提供了一种普遍的而不是专门的审查；其次它是以解决问题为核心的，后一点正是“教练”们所擅长的技能。结合自己后来在海德堡与柏林的经验，皮尔逊认为德国的大学生仅仅学到一些理论而缺乏解决问题的训练。
针对福赛斯说饶思把虚数当作“靠不住的入侵者”（untrustworthy intruder），以及忽略与考试无关的数学内容的批评，皮尔逊说自己不但从学院课程、也从“教练”那里学到了复变量的知识。
除此之外，饶思还会推荐某些学生阅读专门的数学期刊，也向他们介绍斯特拉特（John Strutt, 1842-1919）的声学、格林（George Green, 1793-1841）的数学、麦克斯韦（James Maxwell, 1831-1879）的电磁学论文，以及若干当代几何学家的作品。
所列参考书中不仅有英文的，也有法文和德文的，包括拉梅（Gabriel Lame, 1795-1870）、傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1868-1830）、基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887）甚至黎曼（Georg Friedrich Riemann, 1826-1866）的论文或书籍。
对比1910年改革后的“新三足凳”，皮尔逊的结论是：“今天剑桥的数学荣誉考试产生专家，但是很难培育出那么多在所有领域为国家做出卓越贡献的人。”
约瑟夫·汤姆生（Joseph John Thomson, 1856-1940）是1880年“三足凳”考试的榜眼，晚年写的回忆录中言及剑桥大学时代的生活，特别提到许多与“三足凳”考试有关的故事。
对于饶思的影响他写道：“将近半个世纪以来，英格兰、苏格兰、威尔士以及英属海外殖民地大学的绝大多数数学教授，还有大量的中学数学老师，都是饶思的学生，而且在很大程度上承袭了他的教学方法。在今日的教科书上，饶思的老学生们还能不断辨认出他们所熟悉的章节，显然来自当年老师在教室里讲授的内容或撰写的讲义。
”汤姆生总结饶思的教学特点，“是在短时间内传授足够的知识，根据通常的进度这些内容往往需要花费大量时间去思考与练习。”
通常在冬季学期之末，饶思会同一些准备参加第二年考试的学生们照一张像。
图1是他与1880年“三足凳”考试的部分“饶思人”的合影：中间坐立者是饶思，后排左起第一人是那一年的第七名威尔斯福德（J.W.Welsford），第二人是状元拉莫（Joseph Larmor, 1857-1942），第五位是榜眼J.J.汤姆生，中间坐着的左起第二人是当年的第四名考克斯（H.Cox），前排坐在地上的左起第二、三位分别是第六名麦克因托什（A. MacIntosh）和第三名阿尔科克（W.B.Allcock）。
多种相伴的荣誉“三足凳”考试的状元以及许多榜眼和探花后来都被选入皇家学会，从1871至1940年共有6个人担任过会长，其中后三位还分别荣获1904年、1906年和1915年的诺贝尔物理学奖。具体情况可见表1：
担任皇家学会会长的“三足凳”考试优胜者
曾为牛顿拥有的卢卡斯讲席（Lucasian Chair）教授也是极高的荣誉，从1760至1932年，这一荣誉席位几乎全部为“三足凳”考试状元占据，具体情况见表2：
卢卡斯讲席教授（6-14任）
排在最上面的华林是第六任卢卡斯讲席教授，读者们知道这个名字多半与“华林问题”有关，那是他1770年在《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae）中提出来的，杨武之（1896-1973）、华罗庚（1910-1985）、陈景润（1933-1996）等中国数学家都对这一问题的拓展形式做过深入研究。华林之前的卢卡斯讲席教授（包括首任巴罗和次任牛顿）都没有“三足凳”的记录。
第11任巴贝奇是个特立独行的怪杰，他拒绝参加1813年的“三足凳”考试，那一年的前两名分别由J.赫歇耳（John F.W.Herschel, 1792-1871）和皮考克（George Peacock, 1791-1858）获得，而在剑桥分析学会的创会“三剑客”中，巴贝奇的数学天份是最高的。
他不但没有参加“三足凳”考试，而且对大学正规课程的各种考试不屑一顾，居然获得学位和卢卡斯讲席也是一件令后人感到不可思议的事情。据称他在担任讲席教授的11年间没有为本科生上过一次课，而将主要精力放在设计与制造差分机以及政治经济学等方面。
剑桥大学还有一个萨德莱尔纯数学讲席教授（Sadleirian Professorship of Pure Mathematics），该讲席由萨德莱尔夫人（Lady Mary Sadleir）捐资设立，她的前夫是剑桥校友，参与了皇家学会的创建，也是一位著名的医生。
1706年萨德莱尔夫人去世，根据她的遗嘱设立了这一旨在“全面而清晰地讲授代数学”的讲座，1863年开始改为专门致力于“解释和教授纯数学原理”的教授席位，相继担任讲席的“三足凳”考试优胜者见表3：
萨德莱尔讲席教授（前5任）
1861年阿尔伯特亲王去世后，继任剑桥大学校长的是德文郡公爵威廉·卡文迪什（William Cavendish, 1808-1891）。
他是三一学院校友，1829年“三足凳”考试的榜眼，任内最大政绩是1871年捐资创立卡文迪什实验室与卡文迪什讲席教授，以纪念自己家族的一位著名科学家亨利·卡文迪什（Henry Cavendish, 1731-1810）。
第一位卡文迪什讲席教授是麦克斯韦（James Maxwell, 1871-1879），他是1854年“三足凳”考试的第二名；继任斯特拉特和约瑟夫·汤姆生分别是1865年的第一名和1880年的第二名。
剑桥大学的史密斯奖（Smith Prize，现改名为Smith-Knight Prize）与本文主题有密切关系，它由毕业于三一学院的数学家史密斯（Robert Smith, 1689-1768）遗赠设立，自1769年始每年颁发给两位成绩优异的新科学士。
“三足凳”考试兴起之后，史密斯奖演变成一场优胜者的“附加赛”，也就是在两场考试之后再加一场，只有获得“三足凳”考试前几名的优胜者才有资格竞逐史密斯奖，重点考察他们对自然哲学与数学知识的理解深度与书面表达能力。有一个材料说史密斯奖的考试在“三足凳”考试结束后两周举行，要考三天，大约有60多道更困难的题目。
1885年以前史密斯奖的考试情况缺乏完整记录与统一规定，如何进行和评选由主考官决定。皮尔逊回忆自己当年（1879）的主考官是斯托克斯、麦克斯韦、凯莱和托德亨特（Isaac Todhunter, 1820-1884），几位考生每次去一名教授家，上午答卷，午餐就在教授家里，下午则继续答卷。皮尔逊详尽地回忆了每位教授的特点、对话内容甚至餐桌上的情况。下面是一些著名的史密斯奖获得者的情况：
若干“三足凳”优胜者荣获史密斯奖的情况
上表最右一栏表示荣获史密斯奖的年代，括号中的1、2表示排名，可以看出与“三足凳”考试的名次并不完全相同，例如1845年威廉·汤姆生与帕金森的排名就颠倒过来（当年的主考官埃利斯[Robert Leslie Ellis, 1817-1859/1840 SW/Trinity]面对威廉·汤姆生的试卷，曾对另一位主考官说：“你我只配给这小子削铅笔（修笔）”）。
1854年则是麦克斯韦与饶思并列第一。某种程度可以说，史密斯奖是对“三足凳”考试最优者的补充考察与匡正。1885年以后则以论文而不是试卷来评选获奖人，获奖年份也比参加“三足凳”考试的年份稍晚。哈代与金斯在1901年并列第一，似乎也是对他三年前未能位列“三甲”的一种匡正。
从1861年至1891年，第七代德文郡公爵威廉·卡文迪什担任了两任剑桥大学校长（Chancellor），他的继任者是斯特拉特，即瑞利勋爵，任期是1908-1919年。在多数场合，校长只是一个荣誉职位，主持实际工作的是副校长（Vice-chancellor），在1992年以前每一或两年一换，由大学评议会在众多学院院长或资深教授中选出。
19世纪共有四位“三足凳”状元六次担任过这一职务，他们是约书亚·金（1819）、惠威尔（1855）、菲尔波特（Henry Philpott, 1807-1892/1829 SW/St Catharine's/1846、1856、1857年出任副校长），以及费勒斯（Norman Ferrers, 1829-1903/1851 SW/Gonville & Caius/1884年出任副校长）。
母校之外，19世纪下半叶英国及其海外殖民地许多大学校长或学院院长的位置，都由“三足凳”考试的状元担任，有案可查的有凯兰（Philip Kelland, 1808-1809/1834 SW/Queens'/爱丁堡大学）、麦克阿里斯特（Donald McAlister, 1854-1934/1877 SW/St John's/格拉斯哥大学）、梅因（Thomas Main/1838 SW/St John's/朴茨茅斯海军学院）、考伊（Benjamin Cowie, 1816-1900/1839 SW/St John's/格雷山姆学院）、威尔逊（William Wilson, 1825-1874/1847 SW/墨尔本大学）、佩尔（Morris Pell, 1827-1879/1849 SW/St John's/悉尼大学）、泰特（爱丁堡大学）、阿尔迪斯（William Aldis/1861 SW/Trinity/新西兰奥克兰大学）、贝克（Thomas Barker, 1838–1907/1862 SW/Trinity/曼彻斯特大学）、尼文（Charles Niven, 1845-1923/1867 SW/Trinity/阿伯丁大学）、马修（George Mathews, 1861-1922/1883 SW/St John's/威尔士班戈大学）、迪克森（Alfred Dixon, 1865-1936/1886 SW/Trinity/贝尔法斯特女王大学）等。
名次不等同科学贡献
考试优胜者的名次固然重要，但是若以排名去衡量考生日后的科学贡献就未免荒唐了。前文提到巴贝奇不屑于参加“三足凳”考试，他设计的差分机却成为现代电子计算机的鼻祖。威廉·汤姆生和麦克斯韦可以说是19世纪世界上最伟大的物理学家，分别是1845年和1854年“三足凳”考试的榜眼，当年排在他们前面的是帕金森和饶思——两位都是享有一时盛誉的教书匠。
一些获得高名次的“三足凳”优胜者后来并不从事数理研究，下面是一些典型的例子：
里格比（John Rigby, 1834-1903/1856 2W/Trinity）：英格兰和威尔士总检察长，上诉大法官，枢密院成员。
斯特灵（James Stirling, 1836-1916/1860 SW/Trinity）：上诉大法官，枢密院成员，皇家学会副会长。
罗默（Robert Romer, 1840-1918/1863 SW/Trinity Hall）：上诉大法官，枢密院成员。
莫尔顿（John Moulton, 1844-1921/1868 SW/St John's）：上诉大法官，枢密院成员。
波洛克（Frederick Pollock, 1783-1870/1806 SW/Trinity）：司法大臣，财政大臣，枢密院成员。
特尔顿（Thomas Turton, 1780-1864/1805 SW/St Catharine's）：神学教授，伊里大教堂主教。
古德温（Harvey Goodwin, 1818-1891/1840 2W/Gonville & Caius）：伊里大教堂院长，卡莱尔主教。麦肯齐（Charles Mackenzie, 1825-1862/1848 2W/Gonville & Caius）：坚定的废奴主义者，后来到非洲传教，成为英国大学圣公会中非洲教区负责人，在南非、赞比亚、马拉维等地传教与探险，殁于当地。
考特尼（Leonard Courtney, 1832-1918/1855 2W/St John's）：自由党政治家格兰斯顿（William Gladstone, 1809-1898）的坚定盟友，曾任下院副议长以及财政、殖民、内务等部秘书。
相反，一些做出原创性贡献的优胜者的名次并不位列前茅，最突出的例子是格林（George Green, 1793-1841/1837 4W/Gonville & Caius）、德·摩根（Augustus de Morgan, 1806-1871/1827 4W/Trinity）、怀特海（Alfred North Whitehead, 1861-1947/1884 4W/Trinity）与哈代，他们当年都跌出“三甲”而居第四名。
哈代的事回头再讲，先说格林。他出身贫寒，基本靠自学成才，进入剑桥大学冈维尔与凯斯学院时已39岁，由于没有学过拉丁文，在大学里总是不够自信，1837年参加“三足凳”考试时已是44岁的中年人。
其实早在9年前他就自费印刷了极具创造力的论文《数学分析在电和磁理论中的应用》（An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism），内中引进了势函数的概念，还包括今天被称为格林函数与格林定理的伟大成就。
直到1845年人们（主要靠威廉·汤姆生的努力）才认识到那篇论文的意义。顺便说一下，当年考第二的西尔维斯特（James Sylvester, 1814-1897/1837 2W/St John's）也是极富创造力的数学家，因为宗教信仰问题没法角逐史密斯奖，也不能在剑桥的学院谋得立身之地，而当年的状元格里芬（William Nathaniel Griffin）今日已无人知晓。
德·摩根16岁进入剑桥大学三一学院，深受皮考克与惠威尔的影响，既研究传统的形式逻辑，也开创了数理逻辑的新方向，命题逻辑和谓词演算中的德·摩根定律就是他提出来的。
他也是当年的第四名（德·摩根的两本代数学著作在清末就被译成中文，那就是伟烈亚力[Alexander Wylie, 1815-1887]与李善兰[1810-1882]合译、1859年由上海墨海书馆出版的《代数学》；以及傅兰雅[John Fryer, 1839-1928]与赵元益[1840-1902]合译、1879年由江南制造局出版的《数学理》，作者名字则被译成“棣么甘”或“埭么甘”。）
另一位考了第四的名人是大哲学家怀特海，他与以前的弟子罗素合作撰写的三大卷《数学原理》（Principia Mathematica, 1910-1913）被认为是最重要的数理逻辑著作之一。
《剑桥数学杂志》的创刊主编格里高利（Duncan Gregory, 1813-1844/1837 5W/Trinity）(格里高利1838年发表的《符号代数的真正本质》[On the Real Nature of Symbolical Algebra]被认为是影响了布尔[George Boole，1815-1864]的先驱作品。
《剑桥数学杂志》的另一主编埃利斯是1840年“三足凳”考试状元，也就是注9中提到那位主持史密斯奖的考官，以研究概率论的基础和编辑整理弗朗西斯·培根的著作出名。），达尔文的老师（也是其生物演化理论的重要反对者）、“寒武纪”“泥盆纪”等地质时间尺度的提出者塞奇威克（Adam Sedgwick, 1785-1873/1808 5W/Trinity），都是“三足凳”考试的第五名。
维恩（John Venn, 1834-1923/1857 6W/Gonville & Caius）在形式逻辑、概率论、集合论等领域皆有贡献，最耀眼的成绩是引进能够明快显示各种复杂逻辑关系的维恩图或文氏图（Venn Diagram），当年考了第六名。著名哲学家罗素（Bertrand Russell, 1872-1970/1893 7W/Trinity）第七。
经济学家、人口论的提出者马尔萨斯（Thomas Malthus, 1766-1834/1787 9W/Jesus）第九。另一位大名鼎鼎的经济学家凯恩斯（John Keynes, 1883-1946/1905 12W/King's）当年位列十二。
批评与改革
上节已经触及“三足凳”考试制度的一些短板：尽管“优胜者”中确实出了不少杰出人物，但是排名次序并不说明考生的潜质，更无法与个人的科学成就等量齐观。由于“优胜者”的头衔能为学子的未来提供多样化的美好选择，许多本科生从入学伊始就确立了以获得这一荣誉为目标的学习计划，首先要寻找有声望的“教练”，然后按照后者精心设计的计划，以未来的考试为中心进行艰苦的训练，大学与学院的正规课程反而退居次要位置。
问题在于，像霍普金斯和饶思那样能够全面了解数学面貌的“教练”不多，即使他们那样的高级“教练”也未必能跟上当时数学和物理领域的一些最新进展。
由于最终目标是在考试中获得好成绩，能够迅速思考与写出答案是“教练”们格外重视的技能。在训练课程中，“教练”经常会敲黑板划重点，根据自己的经验提示哪些是“特别重要”、“很重要”或“比较重要”的内容，学生们也会毕恭毕敬地记下来。
此外，“教练”还会搞一些模拟考试，指导学生们如何在大量考题中尽快“捞分”。这一切如同国内近年来风风火火的应试培训学校一样，不能说没有效果，学生们却失去了思考基本原理与品味其美学内涵的机会。
此外，由于主考官多由前几届名列前茅的“优胜者”担任，他们与当下正在备考的学子们很可能同出一位“教练”之门，不管英国绅士们多么“费厄泼赖”（fairplay），这一门下的考生肯定会占便宜，作为掌门人的“教练”肯定熟知出题者的风格与套路，“饶思人”的成群涌现可能就与此有关。
这里回顾一下数学大师哈代的经历很有必要。
15岁那年，他在一本名为《三一学院成员》的小说中读到主人公克服诱惑，成为“三足凳”考试第二名和三一学院研究员的故事，这是他第一次把数学荣誉考试、三一学院研究员资格与人生联系起来。
他于1896年进入三一学院，当年刚满19岁，一位叫沃克（Gilbert Walker, 1868-1958/1889 SW/Trinity）的数学老师很快发现他才智超群，遂建议他与同年级的另一位数学高材生金斯一道，提前参加“三足凳”考试，但是又补充说不能保证你们一定能考进前15名。
为了达到目标，两位年轻人拜师于当时最有名的“教练”韦布（Robert Webb, 1850-1936/1872 SW/St John's）门下，但是一年之后金斯就与“教练”发生争执而退出训练，生性腼腆的哈代则不情愿地留下来，1898年两个人提早参加考试都获得好成绩：金斯与另一人并列第二，哈代则位列第四。
哈代对这一结果很失望，后来的学术生涯中很少提到这次冒失的“闯入”。
在那篇著名的《一个数学家的辩白》中，哈代说尽管获得了剑桥的数学荣誉学位，但是当时他对于数学这门学科仍是无知的。他晚年的好朋友、提出“两种文化”的斯诺（Charles Percy Snow, 1905-1980）在“前言”中说得更加直白，内中写道：“数学荣誉学位考试的荣耀是不可否认的。
考试题目机械地看很难——但不幸的是，无法通过考试来发现考生的数学想象力、洞察力或作为一个有创造性的数学家所应具备的其他素质”；“当他成为一个著名的数学家后不久，他与他坚定的伙伴利特伍德一起致力于废除这一制度时就指出了这一缺点：它使英国严肃的数学一百多年来一直停滞不前。”
斯诺也提到“教练”的特别训练以及哈代的反应，他写道：“这个教师知道所有考生的障碍，知道所有考官的出题风格，而对于课程本身并不感兴趣。对于这种体系，要是换上年轻的爱因斯坦就一定会反抗：要么离开剑桥，要么在以后的三年里根本不做正规作业。”
印度数学奇才拉马努金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）1913年初写信给哈代之前，曾给剑桥的另外两位数学家贝克（Henry Baker, 1866-1956/1887 SW/St John's）和霍布森（Ernest Hobson, 1856-1933/1878 SW/Christ's）写信并附上自己的一些成果，两人都没有意识到这位来自殖民地港务局小职员发现的重要性。
我们在上一篇看到，贝克与霍布森不但是“三足凳”状元，也是饶思的弟子和饶思之后的著名“教练”。
1959年，斯诺在题为《两种文化》的演讲中再次提到哈代与“三足凳”考试，他说：“一百多年来，这项荣誉学位考试的性质已十分明确，为取得最好的成绩，竞争变得十分激烈，而且今后的事业也由此而定。在大多数学院，当然也包括我所在的学院，如果某人取得优异成绩或通过该项考试，他将立即被选为研究员。
一整套的培养机制产生了，哈代、利特伍德、罗素、爱丁顿、金斯、凯恩斯等知名人士为这项极具竞争性和高难度的考试进行了两三年的训练。剑桥的绝大多数人为此感到骄傲，就像几乎每个英国人对现存的不管是什么教育机构都感到自豪一样。”
哈代绝不是因为没有获得“三足凳”状元而批评这一制度的，主要原因是他对纯数学的热爱及特殊的审美品味使然，它们与大杂烩的题海作业格格不入。他最密切的学术合作者利特伍德（John Edensor Littlewood, 1885-1977/1905 SW/Trinity）也是刚过了两年就参加考试，当年与人并列为状元，后来与哈代一道主张改革传统的考试制度。
如果说哈代的质疑源于他对纯数学的推崇，罗素（Bertrand Russell, 1872-1970）的困惑则来自对数学基础的深刻思考。吸引他前往剑桥成为三一学院学生的初始动力是数学，但是当他认真思考欧几里得几何学的基础问题时，开始感到不安，他由衷地希望能够追寻到证明数学真实性的原因，而这一目标与自己起早贪黑为之努力的考试毫不相干。
他写道：“为了掌握应考的技巧，我把数学看成是含有小窍门和鬼把戏的东西。一言以蔽之，大有点玩纵横字谜游戏的意思”；“数学不过是用来在剑桥大学荣誉考试积累分数的一套聪明的把戏罢了”；“当我考完了最后一门数学后，我发誓决不再搞数学了，并把全部数学书都卖了。”
可能有的读者会联想到眼下国内流行的各种“奥数”竞赛，福赛斯确实把数学考试的“优胜者”比喻成奥林匹斯山顶或陡峭山坡上的诸神（Such were the Great Ones on the heights or the upland slopes of our Olympus）。虽然当年夺得头魁，他却怀抱着同情心理为众多普通考生说话，他写道：“山下的众多学生呢？
我们生活在平原上，很少抬起头来仰望最高的山峰，即使有愿望或意志，也几乎没有资格对诸神顶礼膜拜。当年的确有很多学生接过了传奇性的知识火炬，不过一切主要还是期望而已。对于将要发生的事情，无论我们多么年轻，无论我们怀有多少华丽的梦想，随着演出时间的临近信心将会衰退，昔日未曾实现的梦想终将被遗忘。”
到了19世纪末期，也就是哈代们读本科的时代，剑桥大学各学院之间的课程与讲座已相互开放，新的教科书与数学读物也不断涌现，由私人“教练”主导本科生数学培训的环境不复存在，对“三足凳”考试制度施行改革势在必行。
从1910年开始，考试程序被简化，考试内容也大为压缩，最重要的是取消了公布结果时按分数高低顺序唱名的传统，主考官念到当年状元名字的时候会用手翻整一下自己的帽子，而他从回廊抛撒的传单上只有个人等级而不含名次。
有关名次公开的争议早已存在，饶思是最坚决反对取消唱名的代表——在他看来，个人与集体（学院）的荣誉是智力生活的源泉；不过1910年他已不在人世了。以往，当主考官念完最后一名通过者即“木勺”的分数时，回廊上会垂下一个真的木勺，当当正正地悬在该生的头顶，表明他就是幸运者，也宣告评议厅的唱名到此结束。一般来说，得到“木勺”的考生不会觉得丢人，反而兴高采烈地接受伙伴们的欢呼，甚至被同学们簇拥着游行庆贺。
早年的考试内容包括牛顿《原理》的前几章，目的是考察学生们书写科学论文的能力，牛顿在剑桥总是神一样的存在，尽管他的符号系统已经被弃用。1872年，牛顿手稿的拥有者第五代朴茨茅斯伯爵致信剑桥大学，表示愿意把牛顿有关科学的手稿捐赠给他的母校，喜出望外的大学当局派出两位最权威的专家前往赫斯特本庄园，负责挑选和初步整理这批珍贵的文献。
这两个人都是“三足凳”考试的状元，即物理学家斯托克斯（George Stokes, 1819-1903/1841 SW/Pembroke）和天文学家亚当斯（John Adams, 1819-1892/1843 SW/St John's）。
有一些杜撰的传闻听来颇为有趣。
第一个是关于凯莱的，夸赞他的解题速度，说是在一次考试之后的晚间，某个熟人来报告一个“坏消息”，听说某位考生宣称在两小时内答完了今天试卷中的所有问题——一般来说即使最优秀的学生也只能应付其中的一部分；没想到凯莱不紧不慢地说：“是吗？我用45分钟清理完了。
”贝尔（Eric Temple Bell, 1883-1960）的《大数学家》（Men of Mathematics）讲到凯莱的“三足凳”考试成绩时写道：“主考人在他的名字下面画了一条线，把这个年轻人归入‘在第一名之上’（Above the Senior Wrangler）的最出众的一类。”
另一个段子是威廉·汤姆生的，据说1845年开榜那天他因事不能前往评议厅，自信满满的他委托一名学院杂役去打听一下谁得了第二名；那人回来后告诉他：“第二名正是阁下。”
最年轻的“三足凳”状元是圣约翰的弗勒克斯（Alfred William Flux, 1867-1942），1887年他与另外三人并列第一名，考试时刚刚过了20岁，后来成了一名统计学家和经济学家。第二年轻的是泰特，他16岁就进入爱丁堡大学学习数学和物理，一年后转到剑桥大学彼得豪斯学院，那是1848年，他刚满17岁，1852年参加“三足凳”考试时20岁零8个月。
有许多“三足凳家族”的例子。
最突出的是J.E.利特伍德一家三代，他本人是1905年的状元，父亲E.T.利特伍德是1882年第九名，爷爷W.E.利特伍德是1854年的“优胜者”（名次不清）；此外，1890年实际考了第一名的女子菲利帕·福西特也与利特伍德家沾亲。来自阿伯丁的尼文（Charles Niven, 1845-1923）是1867年“三足凳”状元，他的三个兄弟分别在1866、1874、1881年获得第三、第八和第十五名。
1861年的状元阿尔迪斯（William Aldis, 1839-1928）的两个弟弟分别在1863、1866年获得第六和第二名。类似的兄弟“优胜者”还有不少。
老“三足凳”考试的最后一位状元是智利出生的丹尼尔（Percy Daniell, 1889-1946），他随家庭于1895年回到英国，后入剑桥大学三一学院，1909年参加了改革前的最后一次考试。
他后来在美、德、英的不同大学工作，在哥廷根师从希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）和玻恩（Max Born, 1882-1970），在随机过程理论中独立得到与柯尔莫哥洛夫扩展定理（Kolmogorov extension theorem）类似的结果。
有一个故事是关于匈牙利数学家波利亚（George Pólya, 1887-1985）的：1924-1925年度波利亚在剑桥访问期间，哈代向他建议考察一下改革后的“三足凳”考试，在没有任何准备的情况下波利亚非正式地参加了考试。对于他的声望无疑是个挑战，犹如今日让某位知名教授与“奥数训练营”的一帮聪明小孩一道做题比赛，结果“解题大王”波利亚获得了最高分——如果他是本科生，就是当年的“三足凳”状元。
1910年以后“三足凳”状元的情况很少被人关注，天才数学家拉姆塞（Frank Plumpton Ramsey, 1903-1930）可能是个例外，1923年他考了第一名，在组合数学、数理逻辑、哲学和语言学方面都有卓越贡献，可惜英年早逝。
新加坡领导人李显龙是三一学院校友，1973年参加“三足凳”考试获得第一名。近一二十年来，“三足凳”状元名单中出现了几位华人的姓名。
中国人最早记录下Tripos和Wrangler的，可能是清末第一个派驻海外的公使郭嵩焘（1818-1891），不过他是在牛津大学听说的，也不是专指剑桥大学的数学荣誉考试。1877年11月29日（旧历光绪三年十月二十五日），郭嵩焘在英国汉学家理雅各（James Legge, 1815-1897）陪同下访问牛津大学，当日参观了大学副校长面试毕业生的情况。
他在日记中写道：“试者各以年限，必历三年乃得试翰林。翰林亦重前三名，首曰西尼尔朗克勒，次曰色根得朗克勒，又次曰色尔德朗克勒，统名曰得来波斯，犹中国之言鼎甲也。”这里的“西尼尔朗克勒”“色根得朗克勒”“色尔德朗克勒”和“得来波斯”，分别是Senior Wrangler、Second Wrangler、Third Wrangler和Tripos的音译。
最近读到杨振宁先生的访谈录，他在2017年3月1日的一次谈话中夸奖自己的好友戴森（Freeman Dyson, 1923-2020），说“他是个绝顶聪明的人，我很早就知道。你知道剑桥大学有个叫做Tripos的考试？……如果戴森参加Tripos考试，那我绝对不参加，这根本没法更他比。”
大历史的“三足凳”
很难用简短的文字概括剑桥数学荣誉考试的功过是非，它是特定时代特定社会环境下的产物。具体来说，本文涉及的主要情节，发生在19世纪的英国顶级名校剑桥大学，从中流露出强烈的时代与地方特征。个人主义、功利主义和对英雄伟业的崇拜，这些主导维多利亚时代英国社会风貌的文化因素，通过“三足凳”考试制度得到充分的发酵。
如果用一个词来概括这些文化因素，那就是荣誉感。
哈代虽然反对旧的考试制度，他对科学研究驱动力的分析，却十分适合解释“三足凳”风行一时的原因。他说：“有很多高尚的动机驱使人们从事某项研究。在这些动机中，最为重要的有三种。首先（舍此便一事无成）是理智的好奇心，也就是对了解真理的渴望。其次是对自己专业工作的自豪感，即只有从工作中才能得到自我满足的渴望。任何自尊的数学家，当他的工作与其才能不相称时，耻辱感会压倒一切。
最后一个就是雄心壮志，期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。
剑桥大学是牛顿的母校。牛顿的科学研究工作，既是古希腊以来西方理性精神的化身，也是英国经验主义传统的产物，他的主要数学工作都与物理学和天文学中的实际问题密切关联。牛顿建立了机械论的经典力学体系之后，物理世界的一切规律似乎都可以通过他的运动定律和万有引力得到阐发，例外可能是与能量有关的热力学与方兴未艾的电磁学，两者又与分别由蒸汽和电力驱动的两次工业革命的实践若合符契，而英国恰恰是工业革命的故乡。
“三足凳”数学考试增加与天文学、流体力学、光学、热学、电磁学有关的内容，极大促进了19世纪英国数学物理的发展。
格林、斯托克斯、斯特拉特、威廉·汤姆生、麦克斯韦、克利福德、拉莫、约瑟夫·汤姆生、亨利·布拉格（剑桥以外的大人物，至少应该加上当时还属于大英帝国的爱尔兰数学家哈密尔顿[William Rowan Hamilton, 1805-1865]），这些“三足凳”考试中涌现出来的“优胜者”，后来都成为19世纪数学物理的领袖人物。
这里插上一段当代科学史家对麦克斯韦工作的评论也许不算多余，2011年为纪念麦氏《论物理力线》（On physical lines of force, 1861）发表150周年，英国《自然》杂志发表了剑桥大学科学史系教授谢弗（Simon Schaffer）的文章，文中提到“英国的自然哲学家被训练成根据滑轮、泵、润滑剂或橡皮圈来思考问题”（原文是“British natural philosophers were trained to think in terms of the physics of pulleys, pumps, jelly or rubber”）。
的确，麦克斯韦开始以“分子涡流模型”来构建电磁理论，将力线想象为由许多单独的涡旋分子组成的涡流管，借用流体力学的数学框架来描述充斥空间的以太场，其中张力与应力的转换犹如复杂的齿轮系统的机械运动。大约同时，英国物理学家们开始关注长途电讯号的传输问题。在初次尝试铺设跨大西洋电缆的灾难性尝试之后，英国科学促进会建立了一个专门委员会来确定电阻标准，麦克斯韦也被邀请进来，电磁测量开始主导英国新的物理实验室。
19世纪初，剑桥大学的几位年轻人，敢于挑战权威，通过引进欧洲大陆的符号系统全面介绍法、德等欧陆数学家的成果，后来英国数学家在代数与分析领域，以及逻辑演算与数学基础方面取得的重要成果，一方面得益于表达形式的“改宗”，另一方面也同牛顿的传人们对演算技巧的重视。
凯莱、西尔维斯特、哈代、利特伍德都是纯粹数学领域的杰出代表；逻辑演算与数学基础方面，则隐约可以看到一条从皮考克、德·摩根、格里高利、维恩、布尔到怀特海与罗素的脉络。
一部数学发展的历史，就是算法与演绎这两种倾向交替繁荣互为消长的过程。17世纪后半叶，凭借逻辑基础尚不严密却行之有效的流数术，牛顿撬开了微积分的大门。
到了18世纪，一面有常微分方程、偏微分方程、变分法、无穷级数和微分几何等算法倾向的深入发展，一面有欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813）等人致力于数学分析的一般原理，而无穷小、极限与实数的严格基础直到19世纪才被确立。
对西方近代数学史有深入研究的李文林先生认为，19世纪的欧洲大陆，基于数学内部矛盾的演绎倾向占据数学发展的主导地位，该世纪数学的三大成就——非欧几何、群论和分析的严格化，都是这种倾向的产物，而剑桥数学物理学派却明显不同于这一潮流，他们有别于纯粹数学家，主要兴趣不在于数学的内部矛盾，而是根据物理学的需要发展数学的新概念、新方法或新分支。
“在剑桥，从格林到麦克斯韦的数学物理学派却独树一帜。恰如牛顿给出了古典物理的数学表述，十九世纪的剑桥学派为以场论为特征的新物理学提供了数学语言，这两件事都发生在剑桥，应该说并不是偶然的。”
说到底，“三足凳”考试就是一个对剑桥大学数学本科生学习效果的大检阅，发生在特殊的历史文化环境中。它的风光年代，际逢19世纪下半叶英国数学的复兴与数学物理学派的兴起，二者相激相荡，互为因果，于是折射出今日看来如同万花筒一般的种种奇观来。