量子计算工作组
返朴
2022-09-03 08:00:42
转自公众号：中国信息协会量子信息分会
从1911年的首届会议开始，索尔维物理学会议就一直对量子物理的发展起着推动作用。今年5月，第28届索尔维会议在布鲁塞尔召开，会议主题为“量子信息的物理”。量子计算先驱彼得·肖尔出席会议并做了报告。这是肖尔的报告文稿，将收入会议文集中。
蒙索尔维国际物理学化学研究会慷慨允诺，我们得以把这篇文章翻译刊载出来。前几天我们发布了文章的上半部分，今天发布文章的下半段，讲述了纠错码和容错计算的发现过程。纠错和容错是技术上实现量子计算机的关键，也是当前研究的热点。这部分内容涉及一些技术细节，在这里稍作解释。量子纠错码最初是通过类比经典纠错码发展起来的，其中的关键是阿达马门H的使用。
在量子容错计算方面，文章中事实上用了魔法态制备和（单比特）量子隐形传态，就是把不易进行容错操作的门放在初态制备过程中，然后通过量子隐形传态传送到量子电路中的所需位置。针对量子计算有一种强烈的反对意见，罗尔夫·兰道尔在五月份圣塔菲研究所的会议上就提出来了。量子计算机看起来无法提供容错。而在没有容错的情况下，如果你要在一台量子计算机上运行N步，你得保证每一步都精确到1/N。
当N很大时，比如10亿，这在实验物理学家们看来是绝对不可能的。有两个主要的量子力学原理，海森堡不确定性原理和量子不可克隆定理，被视为纠错的阻碍。海森堡不确定性原理是说你无法完整地测量出量子计算机的态。量子不可克隆定理则是说你无法复制一个未知量子态。假定你用不可靠的元件来搭建经典计算机，并且希望让它容错，有很多技术可以使用。
一种是检验点——你周期性地记下你的计算状态，而一旦计算在某个点偏离了，你不用从头开始，只需要在检验点开始就可以了。另一种技术是纠错码。这些编码利用冗余来帮助你修复在存储中损坏的比特。最后，还有一种技术是大量冗余。你在计算中保留每个比特的多个副本，并且不断地对它们进行相互比较来修复那些出错的。大量冗余可能是这些技术中最强有力的，冯·诺依曼1956年就研究过。
问题在于，量子不可克隆定理似乎表明所有这些都不可行。对于检验点来说，你不能记下你的计算状态再继续计算——这是在做备份。对于大量冗余来说，修复错误涉及备份——如果你有四个好的计算副本和一个坏的副本，由此得出五个好的副本也是不可克隆定理认为不可能的事情。幸运的是，尽管纠错码看上去也需要冗余，但还能奏效。最简单的经典纠错码是重复码，这时你给比特做多个备份，然后利用多数票来修复错误。
可以运作的最短码是三比特码（因为你需要多数）。对于量子码你也可以这么做。这一编码如下，它将一个量子比特编码进三个量子比特中，这里，代表逻辑量子比特，被编码进三个物理量子比特中。这一编码纠正比特错误，但它让相位错误的可能性变成了三倍。我意识到存在量子编码的一种变换，就是我们现在所说的阿达马变换，可以把比特错误变成相位错误，反之亦然。
这一变换就是如果你作用上这一变换，你会得到一个相位错误纠正码，它可以纠正相位错误，但会让比特错误的可能性变成三倍。这一编码就是你可以将这两种码组合起来，通过一种叫做级联的过程，这是经典编码理论中非常重要的一种技术：首先，你将想要保护的量子比特用其中一种量子码编码；接着你将得到的态中的每个量子比特用另一种码编码。
当你将它们用这种方式组合后，你得到如下可以同时纠正比特错误和相位错误的9-量子比特码：我就是这样发现9-量子比特码的。经典上，重复码非正式地出现得有几千年了。不过，更复杂的经典纠错码，比重复码有效得多的，才发现不到五十年的时间，这其中最早的一种是由理查德·汉明发现的。照此类推，我决定去寻找更复杂的量子纠错码。
我开始把玩经典的7-比特汉明码——仅比重复码复杂的经典码——并发现了其量子版本，它把一个量子比特编码进七个量子比特中，并且纠正一个错误。这里的关键又是阿达马变换，它把比特错误和相位错误来回转换。经典的汉明码纠正比特错误。不过，如果你把它的码字以适当的方式做成叠加态，就会在阿达马变换下是不变的，从而可以同时纠正比特错误和相位错误。
这给出了7-量子比特的量子汉明码：我把这一构造展示给罗伯·凯尔德班克，接着我们将它推广成一大类量子纠错码，通过组合两种相互弱对偶的经典码。在这些发展之后，人们开始寻找其它的量子纠错码。两个小组，一个在洛斯阿拉莫斯国家实验室，一个在IBM，把这一问题交给了电脑，并且都发现了一种5-量子比特码。这两种5-量子比特码看起来完全不同，但你可以作用一系列变换，然后看出它们其实是一样的。
此外尽管看上去它们明显具有某种结构，这一结构究竟是什么却并不清楚。当我试着去弄清这一编码的结构时，我决定去做的第一件事就是去找出它的对称群。我问尼尔·斯隆是如何找对称群的，他告诉我某种软件——确切地说，是MAGMA——并且给了我一个MAGMA程序实例，是他写出来计算他研究中用到的一个群的大小的。软件显示我的群跟他的群是同样大小，都是5160960。
不仅如此，如果仔细观察，会发现它们其实就是同一个群，并且在两个问题之间存在着深层联系。这引导我们发现了稳定子码理论。在此期间还有些其它有趣的进展。阿列克谢·基塔耶夫听说了因数分解的结果，但因为在俄国，他实在没法拿到文章。于是他想出了结果的另一种证明，这给我们带来了相位估计算法。而贝尔实验室的洛夫·格罗弗发现了一种量子搜索算法，效率是最好的经典搜索算法的平方。最后我想谈论的事情是容错。
为了建造量子计算机，光是能用无噪声门进行纠错是不够的；你还得能用有噪声门纠错。这意味着，你纠错的速度得比你引入新错误的速度更快。冯·诺依曼1956年说明了用经典含噪门如何做到这一点。但对于量子比特这略为棘手——你得弄清楚如何在解码之前对编码的量子比特执行操作，因为一旦解码出逻辑比特，你可能已经将它们暴露在错误之中了。
我意识到对于克利福德群里的门这是相当直接的，因为对于某一类的CSS码你可以横向执行这些门，也就是说，可以让编码一个逻辑量子比特的第i个量子比特只与其它逻辑量子比特的第i个量子比特作用。这将码字的第i个量子比特与第j个量子比特分离开来，因此错误不会传播得非常远。不过，这仅仅对克利福德群里的门奏效，而克利福德群的门无法让你做通用计算。
事实上，如果你的量子电路只含有克利福德群里的门，它可以用经典计算机来仿真。如何在编码的量子比特上执行非克利福德门？其实我们只需要弄清楚如何实现不在克利福德群里的一个门就行了。我最开始尝试的是在编码的量子比特上实现这个门。当我们把这个门作用到一个任意的编码量子比特上，会发生什么？我们会得到对比它与下面这个态怎样才能把这个态变成需要的态？
我们可以作用一个受控门改变态的符号，接着作用从第二个量子比特到第一个量子比特的CNOT，或者说受控门。这会为我们给出这个态。现在，如果我们在基下测量第一个编码量子比特并且得到结果，我们就得到了所要的态。相反，如果我们得到结果，我们会有态。于是我们找到了一个流程，可以将一个态顺时针或者逆时针转动2π/3，每个方向各有1/2的概率。
不过，因为顺时针转动这个角度两次会给出逆时针的转动，我们可以重复这个过程直到得到态，而且我们预期要做的转动次数也只有两次而已。以上想法的困难在于，怎样制备编码态并不清楚。我花了一些时间和精力，想到了如何使用类似的方式来构建托佛利门。我们不再使用辅助态，而是使用。制备这个辅助态的关键是使用猫态。你可以检验这个态来保证它是包含最多0的态和包含最多1的态的叠加。
你没法轻易检验叠加的相位；不过，如果你小心构建你的电路，这个相位的错误只会导致量子码中的可纠正错误，从而可以用纠错电路处理。我的文章并没能给出我想要证明的容错结果，也就是阈值定理。阈值定理是说，如果你有足够低的常值错误率，你可以对任何量子电路构建它的容错版本，并且只承担不超过多项式水平的额外开支。我的文章的一个不足之处是，它只展示了如何实现有限门集。我说明了如何实现所有的克利福德门和托佛利门。
你还可以找到其它一些门的严格构建方式。不过，基于量子容错的本质，任何容错协议都只能执行有限的门集。这是因为，如果它可以容错地实现依赖于一个连续参数的一族门，你是没法区分该连续参数的两个相近值的。因此，你所需要做的是找到一组离散门集，对较小数目量子比特上的任意正变换给出很好的近似。索罗维-基塔耶夫定理表明这是可行的。
事实上，这一定理表示，如果SU(k)中的任意有限门集可以生成SU(k)中稠密的一个群，那么SU(k)中的任意门都可以用这个门集的一个相对较短的序列来很好地逼近。利用这一点你可以证明，如果对能生成SU(k)中稠密的一个群的任意门集实现了容错操作，你可以用这些近似去构建一个容错电路，使得它能足够好地逼近任何电路，并且只需要承担多对数的额外开支。我的文章也没有说明量子计算机能够完全容错地建造。
它表明，如果你的量子硬件的错误率是ε，你可以运行数量级的门，使得总错误率较小，这里c是某个常数。可是，我真正想证明的是，存在某个阈值，如果错误率ε在这个阈值之下，任意长的运算都可以容错地进行。两个研究组最终证明了这一结果，通过将我的构造自我级联很多次。要计算n步，你需要级联loglog n层，并为此付出多对数的开支。阿列克谢·基塔耶夫发现了另一种执行容错量子计算的方法，通过利用拓扑码。
阈值定理的发现说明量子计算机在技术上也许是可行的（尽管仍然很困难），从而导致了对各种实际建造路线的研究的爆发。