如何把圆等面积地变成正方形？这个问题困扰了数学家数千年。直觉告诉我们，给定一个圆，一定存在一个面积与之相等的正方形。可是这个正方形要怎样画出来呢？这个“化圆为方”的问题困扰了数学家几千年，他们先是证明了，仅靠尺规作图无法实现化圆为方，后来又思考：能否将圆分割成有限数量的碎块，再把这些碎块拼接成正方形呢？现在真的有数学家实现了这一点。
大约在公元前450年，古希腊数学家阿那克萨哥拉提出了一个有趣的几何问题：只用直尺和圆规，能否作出一个与给定圆面积相等的正方形？这个看似简单的“化圆为方”问题成为了尺规作图领域的一道经典题目，在此后的2000多年里，许多数学家都尝试解答，但都没能成功。这个问题之所以难以解答，在于它不仅是一个几何学问题，还是一个代数学问题。
在尺规作图问题中，给定若干角度或线段长度，其实质是给出了若干实数；而只用无刻度的直尺和圆规作图这条规则，保证了作出的角度或线段的长度，是给定实数的和、差、积、商、平方根的组合。由此，每个尺规作图问题其实都对应着一个代数问题。
回到化圆为方问题。假设给定的圆的半径为单位长度1，易知圆的面积为π，而面积与之相等的正方形，边长应为√π。
问能否用尺规做出这个边长的正方形，其对应的代数学问题是：已知1，能否通过有限次加减乘除和开方运算，得到√π？这个问题直到1882年才得到了最终的答案。德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了，π（及其平方根）是超越数，即它不是任何有理系数多项式方程的根，也就无法通过有限次的代数运算得到。所以那个等价的代数学问题无解，于是，尺规作图下的化圆为方问题也就无解了。
尺规作图无法化圆为方，可要是抛开尺规作图的限制呢？1925年，波兰裔美籍数学家阿尔弗雷德·塔尔斯基提出了另一个版本的化圆为方问题：能否将给定圆分割成有限数量的碎块，再将这些碎块重新拼接成一个正方形？碎块不能有剩余，拼接成的正方形也不能有缺口，圆和正方形的面积要相等。
这个版本的问题少了尺规作图的限制，但是要求不仅正方形的面积要和给定圆相等，构成它的每个部分也要来自给定圆——这更接近“化圆为方”的字面意义。而且在两个版本的问题中，允许的操作次数都是有限的，因此新的化圆为方问题依然是一个难题。
塔尔斯基提出的问题在1990年有了答案。匈牙利数学家米克洛什·拉茨科维奇给出了证明：圆可以被分割重组成正方形。
但是这种分割方式不是通常的剪刀能剪出来的，分割出来的碎块都拥有极其复杂的不规则形状。拉茨科维奇把这个几何问题转换成了一个图论问题，他用两种不同的顶点集合画了一个图——一个顶点集合对应于圆，另一个对应于正方形——然后在两个顶点集合之间建立了一一对应关系。最终他证明了，把一个圆分割成最多10^50块，就可以将它们拼接成正方形，甚至不需要旋转这些碎块。
然而拉茨科维奇的证明并没有终结新的化圆为方问题。实际上，他只是做了存在性证明，也就是证明了化圆为方是可行的，但是没能给出具体的操作方式，也没能给出每个碎块的形状。为了直观地理解化圆为方的过程，数学家仍然需要回到几何学，给出每个碎块形状的明确描述。
时间来到2016年，英国兰开斯特大学的卢卡什·格拉博夫斯基以及华威大学的安德拉斯·马泰、奥列格·皮库尔科发表了一篇论文，给出了分割圆的具体方法。在他们的证明中，分割圆得到的碎块，大多数都有明确的形状。他们还发现，这些碎块拼接在一起其实不能构成一个完整的正方形，仍然有一些小的“缝隙”需要额外的碎块来填充。但是这些碎块是如此之小，以至于它们并没有面积，数学家称之为“零测度的集合”。
一年后，马克斯和现在在加拿大多伦多大学的斯潘塞·昂格尔做出了改进，给出了第一个真正有效的化圆为方的方法。他们把圆分割成多达10^200块，重新拼接成了正方形，而且不会留下零测度的缺口。这些碎块的形状仍然非常复杂，尽管它们在数学上有明确的描述，但是很难可视化。
这给了数学家继续改进化圆为方方法的空间。马泰、皮库尔科和加拿大维多利亚大学的乔纳森·诺埃尔在本月发布的一篇预印本论文中，将圆分割成了同样约10^200块，但形状更为简单、更易可视化的碎块，并重组成了正方形。数学家仍然想进一步简化这些碎块，尤其是减少碎块的数量。马克斯做了一些计算机实验，表明可以只用22个碎块就能完成化圆为方的过程，他甚至认为这个数字还能减小，尽管没有给出证明。