20世纪最著名的数学证明，少不了这个曾被忽视的理论。最初被人忽视的表示理论，现在，它是许多数学研究的核心。19世纪晚期，表示理论出现时，许多数学家质疑它存在的价值。在登场一个多世纪之后，在许多最重要的数学发现中表示理论都是关键。表示理论是一种将复杂对象用简单对象“表示”的方法。这里的“复杂对象”通常指的是数学对象的集合，并且他们之间的关系形成某种特定结构，这些集合称为群。
而“简单对象”是数字阵列，称为矩阵，是线性代数的核心。群比较抽象，常常难于处理，而矩阵和线性代数却是十分基本的。为了理解矩阵如何表示群，我们有必要逐个看看它们都是什么。首先，我们来介绍群。举一个十分直白的例子，考虑等边三角形的六个对称性：两个旋转对称、三个镜面反射对称、一个恒等对称性。这六种对称操作形成了元素的一个封闭集合：群，学名是 S3。
它们之所以形成群，是因为具有这样的性质：在其中选取任意多个操作，以任意顺序施加在这个三角形上，其结果都可以等效成为只进行了一次对称操作。数学家把两个对称操作的结合称为一个组合：群中的一个操作（反射）与另一个（旋转）组合，产生第三个（另一个反射）。你可以像数学家一样，将组合看作一种乘法运算。简单起见，我们可以考虑非零实数，加上定义的各种运算，它们也形成了一个群。
任何实数“组合”或“乘以”1 之后都保持不变。你也可以以任何顺序乘以任何实数，得到的结果还是一个实数。数学家称实数构成的群在乘法下“封闭”的，意思就是，若只是将元素相乘，得到的结果永远落在这个群内。自从 1830 年左右被发现，群已经成为了数学中最重要的内容之一。他们将素数、几何空间等数学界几乎所有最关心的东西进行编码，解决一个重要的问题往往取决于理解与之有关的那个群。
但对绝大多数群来说，理解起来比等边三角形可难多了。比如“李群”，它含有的可不是简简单单的六个元素，而是无穷多个。这就说到了表示理论，它让我们从神秘的群的世界来到了可以很好地被约束的线性代数领域。线性代数研究作用在向量（有向线段）上的简单变换。它们是用坐标来定义的，可以用矩阵（数字阵列）的形式表示出来。一个矩阵作用在向量上，使之发生变换。比如，矩阵的作用是使向量长度伸展为原来的两倍。
这是一个“线性”变换的例子。其他矩阵会对向量进行不同种类的线性变换，如反射，旋转和剪切等。恒等矩阵不对向量产生任何改变（就像恒等对称性作用在三角形上或者1作用在实数上一样）：线性代数将这些变换背后的算数过程具体化了。矩阵可以相乘、相加、相减，就像我们对普通的数字进行操作一样简单。根据某些规则，对群里的每个元素分配一个矩阵——表示理论以这样的方式在群论和线性代数之间架起了一道桥梁。
举例来说，群的恒元必须分配单位矩阵。这种分配必须照顾到群中元素之间的关系。如果一个反射操作乘一个旋转相当于第二个反射，那么他们所对应的矩阵也应满足前两者（第一个反射和旋转对应的矩阵）相乘等于后者（第二个反射对应的矩阵）。符合这些要求的矩阵的集合就称作群的一个表示。表示给出了群的简化图像，就像黑白图片是原始色彩图片的低成本仿制一样。换句话来说，它“记住”了一些简单却本质的信息，但“忘掉”了其他的。
数学家不想过分纠缠于群的全部复杂性，而是将其转换为线性变换这样的简约形式，然后通过观察其行为来把握其性质。几乎所有群都有多种表示。比如S3群就有三个截然不同的实数矩阵表示：平凡表示、反射表示和符号表示。数学家将群的表示整理归纳在一个表格——特征标表中。特征标表总结了群的信息，表格的各行对应着不同的表示，各列对应着表示中的重要矩阵：恒元和生成元（利用这两种群元可以构造出群的全部元素）的表示矩阵。
表格的内容是各矩阵的迹，即将矩阵左上角到右下角这条对角线上的元素取和。下方是 S3群三个表示的特征标表：特征标表提供了群的简化图像，其中的每个表示都提供了略微不同的信息。数学家将表示提供的各个角度结合起来，形成对群的整体印象。如今，表示理论是许多数学研究领域的核心工具：代数、拓扑、集合、数学物理和数论——包括影响深远的的朗兰兹纲领。
表示理论——尤其是模表示——在1994年安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）对费马大定理(方程 an+bn=cn 是否存在正整数解)的里程碑式证明中扮演了重要的角色。怀尔斯证明了当 n>2 时这样的正整数解是不存在的。大体来说，他认为如果存在这样的解，会导致一个群（或椭圆曲线）具有非常不寻常的性质。这些性质太不寻常以至于可以作为群不存在的证据。然而，直接证明是非常困难的。
怀尔斯另辟蹊径，着手于这个群的一系列模表示。它证明了一系列的模表示无法存在，这就意味着这个群（或者椭圆曲线）无法存在，进而表明这个整数解也是无法存在的。百年之前，威廉·伯恩赛德将表示理论弃之如敝履；百年之后，表示理论对 20 世纪最著名的证明至关重要。