古往今来，在所有的数学创新中，出现了太多令人惊喜的发明。有的数学概念的发展和潜力远远超出发明者的初衷和预期，它们在人类文明的进程中扮演着重要角色，帮助人类摆脱种种愚昧和困境。今天我们要细数的就是这样十个值得称颂的数学创新。阿拉伯数字1、2、3、4、5……这套简单的数字被称为阿拉伯数字。
虽然名为“阿拉伯”，但其实它们最早起源于6或7世纪的印度，是阿拉伯人从印度人那里习得的这些数字，然后在12世纪左右，中东数学家将这套数字的书写方法带到了欧洲。可能很少有人会去深思这些最简单的数字的意义，而它们却是人类文明得以向前推进的关键要素。13世纪初，意大利数学家斐波那契开始在他的工作中使用阿拉伯数字。随后，西欧的定量科学取得了巨大的进步。为何在此之前罗马人没能做出富有创造性的定量科学？
一种说法认为，这是因为用罗马数字进行复杂计算并不是一项方便简洁的任务，因此阿拉伯数字的出现代表了计数方法上的重大突破，为代数的发展铺平了道路。如果没有这些数字，数学或许会一直困在黑暗时代。
在人类历史上，人们从很久很久以前就理解了“无”的概念，有记录以来的第一次使用代表了零的符号可以追溯到公元前3世纪的古巴比伦；到了在公元350年左右，玛雅人的日历上也出现了与之类似的符号。
但零的概念实际上是在公元5世纪左右才在印度充分建立起来的。在此之前，数学家会尽量进行最简单的算术计算。这些早期的计数系统只把零看作一个占位符，而不是一个有自己独特值或属性的数字。直到公元7世纪，人们才充分认识到零的重要性。终于在9世纪时，零才以一种与我们今天所使用的椭圆形类似的形式，进入了阿拉伯数字系统。
负数概念的第一次出现可追溯到公元前200年的中国。
在《九章算术》的一章中，负数被用于求解一组联立方程组。书中用红色的杆表示正数，黑色的杆表示负数。7世纪的印度天文学家婆罗摩笈多是第一个赋予负数意义的人。他用“财富”和“债务”的概念来表示正数和负数。这时的印度已经拥有了一个含有0的数字系统。婆罗摩笈多用一种特殊的符号表示负号，并写下了一些关于正、负的运算规则。
直到15世纪，负数才开始出现在欧洲，这开启了一个建立在前人思想基础上的研究过程，并掀起了求解二次方程和三次方程的数学热潮。
分数的英文fraction一词来源于拉丁语“fractio”，意思是“断裂”。在1585年出版的一本小册子中，荷兰数学家斯蒂文向欧洲的读者介绍了十进制小数的概念，表示他要教授“在商业中遇到的所有计算都可以不用分数，只用整数来完成。
”他认为他的小数方法不仅对商人有价值，而且对从占星家到测量师都有价值。但在斯蒂文之前，小数的基本概念就已经在一定程度上得到了应用。10世纪中期，大马士革的阿尔·乌格利迪西写了一篇关于阿拉伯数字的论文，在论文中他涉及到了小数，不过历史学家对他是否完全理解这些数字存在分歧。我们今天所使用的分数是直到17世纪才在欧洲出现的。
矩阵的起源最早可以追溯到公元前200年到公元前100年之间，在书写于中国汉代的《九章算术》中，“方程”一章里就出现了这种以方形的形式写下的方程组问题。这是一种通过系数分离来表示线性方程的方法，是已知最早的矩阵。17世纪，德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨和日本数学家关孝和各自独立地写下了行列式。矩阵的现代形式是在19世纪中叶由英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）建立的。
他从1858年开始，发表了一系列关于矩阵的论文，讨论了矩阵的运算法则、矩阵的逆、矩阵的转置等等。自矩阵的概念被普及之后，它被应用于科学和工程领域的方方面面。比如在计算机图形学中，矩阵可以被用来表示图像的旋转和其他转换。
复数的发展有着非常复杂的历史。与多数人以为的不一样的是，复数的出现并非源自于求解二次方程的需求，而是源自于求解三次方程的需求。
第一次涉及到虚数的记录出现在1世纪，当时，古罗马数学家希罗在研究金字塔的一个很奇怪的部分，他需要求解√(81-114)。然而，由于他觉得这根本不可能办到的，因此很快就放弃了。在接下来的很长一段时间里，没有人去过多地触及这个概念。到了16世纪，一些关于负数平方根的研究又开始慢慢出现。人们发现了求解三次和四次多项式方程的公式，并意识到有时这需要用到负数的平方根。
最后，在1545年，关于虚数的首个正式研究出现了。那一年，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）出版了《大术》一书，在书中他求解了方程x(10-x)=40，得到了x=5±√-15，将复数形式a+√-b引入了代数之中。
什么是对数？一个现代数学家会给出的答案可能与几个世纪前的数学家会给出的很不一样。
事实上，对数的起源问题并没有一个简单的答案，但与之相关的至少有两位学者，一位是苏格兰男爵约翰·奈皮尔，另一位是瑞士工匠约斯特·比尔吉。在16世纪末，他们各自独立发展了体现对数关系的系统，并各自花费数年时间制作计算对数的表格。对数关系用现代符号可表示为：log(ab) = log(a) + log(b)。
这个等式将乘法和除法简化为简单的加法和减法运算，在17世纪初，这样一种概念带来的冲击是巨大且直接的。因为在16世纪末，观测天文学、远程导航、测绘等许多科学领域得到了前所未有的发展。这些学科对数学有着很高的需求，它们在很大程度上的基础是三角学，需要三角函数表等工具进行计算。因此，为了发展出能够避开冗长而复杂的计算技术，人们非常期待能出现可以用加法和减法过程取代的方法。
说起微积分，可能多数人通常会默认将功劳都归于牛顿。但事实上，微积分的发现应该归功于两个人——牛顿和莱布尼茨。17世纪末，这两位杰出的数学家几乎在同一时间各自独立发明了微积分，但他们对基本概念的思考方式却截然不同。牛顿考虑的是随时间变化的变量，而莱布尼茨考虑的是变量x和y的范围无限接近数值的数列。莱布尼茨引入了dx和dy作为这些数列的连续值之间的差异，并且他知道通过dy/dx能得到正切。
牛顿使用的是x'和y'来计算正切。他们二人都没有从函数的角度来思考微积分，而总是从图形的角度出发。对牛顿来说，微积分是几何的，而莱布尼茨则更倾向于将它用于分析。
大约在公元前300年，欧几里得在《几何原本》一书中提出了5个几何公设：1. 任意两点可以通过一直线连接；2. 任意线段都能延伸成一直线；3. 任意线段可以一个端点为圆心该线段为半径作圆；4. 所有直角都全等；5. 若一条直线与两条直线相交，使同侧的两角之和小于两个直角，那么这两条直线无限延伸必定相交。其中第5个公设有别于其他四个，欧几里得隐隐觉得它好像不似其他4条那么完美。
此后的2000多年时间里，先后有多名数学家尝试提出这一公设的替代版本，或者试图从其他四个公设来证明第5个公设，其中包括普罗克鲁斯齐诺弗尼斯、约翰·沃利斯、乔瓦尼·萨凯里、约翰·海因里希·朗伯、约翰·普莱费尔、阿德里安-马里·勒让德等人。而第一个真正意义上确认第5公设独立于其他4条公设的，是19世纪初的高斯。
1817年，高斯开始研究这样一种几何，在这种几何中，穿过一个点可以画出多于一条与某条线平行的点的线。而在1829年，俄国数学家尼古拉·罗巴切夫斯基发表了他的非欧几何的工作，而黎曼则在高斯的指导下完成了博士论文。1854年，在黎曼的就职演讲中，他重新定义了几何学的概念，简要探讨了球面几何。
虽然这一演讲直到1868年才得以发表，也就是黎曼去世两年之后，而它的影响是巨大的，例如在爱因斯坦阐明广义相对论的过程中，黎曼的非欧几何起到了重要作用。
数百年前，人类发明了十进制数字系统。直到一个世纪以前，我们用于计算的主要系统仍是十进制数字系统。但是，随着计算机和其他技术的发展，我们有了对更复杂的数字系统的需求，这也促使了二进制数字系统的诞生。二进制系统的起源可以追溯到19世纪中期。
1847年，英国数学家、逻辑学家乔治·布尔在《逻辑的数学分析》一文中写下了他的关于用推理演算和代数运用来解决逻辑问题的思考。布尔逻辑的有三个主要逻辑，即AND、OR和NOT逻辑。
AND逻辑阐述的是，如果两个比较值都为真，那么结果值为真；OR逻辑说的是如果两个比较值中的一个为真值，那么结果为真值；NOT逻辑会反转给定的值，例如如果给定的值是真值，那么NOT会将它反转为假，如果它是假值，那么NOT会将把它反转为真值。这里，真和假这两个状态可以用两个数字表示：1和0，也就是二进制系统。
在20世纪30年代，一些研究人员注意到，布尔的二元逻辑可以用来描述电子电路开关，从而开始被用于设计电子计算机。现如今，每个数字计算机使用的都是这种二进制数字系统，它被用于多种应用程序，这包括图像处理、高端音频和高清视频的录制、存储数以百万计的数据输入等等。