在二十世纪初，德国的哥廷根大学是全世界最负盛名的数学研究中心之一。数学家大卫·希尔伯特是哥廷根大学的一位声名显赫的教授。在1924-1925年的那个冬季学期，他进行了一系列关于无限的讲座，涉及数学、物理学和天文学等领域。
在其中一个演讲中，他用了一个例子来解释有限集和无限集之间的关键区别：在一个房间数量有限的旅店中，如果所有房间都被占用，那么新来的客人就没有房间了；但是对于一个有着无穷多个房间的旅店来说，这就不成问题——如果所有房间都住满了，那么当新来了一位客人时，只需要把每位客人的房间向下挪一个，把第一个房间空出来留给新来的客人就好了。类似的论点使我们可以容纳任意数量、甚至无穷多的新来的客人。
为了简单起见，我们将这间饭店的无穷多个房间编号为1、2、3、4、5……假设有一天，所有房间都住满了，这时来了一位新客人。正如之前说的，我们只需要把1号房间的客人挪到2号房间，2号房间的客人挪到3号房间……也就是把n号房间的客人挪到(n+1)号房间，从而空出1号房间给新来的客人，原来的客人也不会落得无房间可住。
如果我们再假设，新来的客人数量不是1位而是20位，那么之前的策略仍能奏效：只要把n号房间的客人挪到(n+20)号房间，留出20个空房间给这20位新来的客人即可。但是，如果有无穷多个客人乘着一辆有无穷多座位的巴士要住进这家希尔伯特大饭店呢？
这时，我们通过可以修改前面的方法，使它仍能适用于这种情况，那便是将已经入住饭店的客人间隔开来：用数学的语言来讲，这相当于把n号房间的客人挪到2n号房间，这样所有偶数号的房间都被占据。这样一来，每个用来隔开的房间（无穷多个）都是空的，也就可以容纳（无穷多个）乘巴士到达的人。
如果来了99辆无穷多座位的巴士呢？这时，只需将原来入住的客人挪到编号为100、200、300等房间，让第一辆汽车上的乘客搬到编号为1、101、201等房间，让第二辆汽车上的乘客搬到编号为2、102、202等的房间，以此类推。这样一来所有的房间都会被占据，同时也不会有客人没有房间住。
这个无穷大的问题还能继续深入吗？当然可以。
想象一下，在希尔伯特大饭店的旁边有一个车库，在车库的一楼是我们已经知道的无穷多辆无穷多座位的汽车。接着，我们注意到：车库有无穷多层，每层都有无穷多辆无穷多座位的汽车。希尔伯特大饭店能应对这额外的一层无穷吗？答案是肯定的！我们可以用之前的方法，将车库里的每一层乘客排成一个纵列，然后让每个纵列进入一辆无穷多座位的汽车。这样，我们就把问题简化为无穷多辆无穷多座位汽车的问题了。
而我们知道，这间饭店是可以容纳这种情形下的所有人的。
如果再添加一层无穷呢？例如，如果车库也有无穷多个，每个车库有无穷多层，每层有无穷多辆巴士，每辆巴士有无穷多个乘客？即便要应对这一共4层无穷，答案仍然是肯定的！事实上，即使是4000层无穷大，答案也是肯定的。这一切会停止吗？希尔伯特大饭店是否会有再也无法接待新客人的时候？对于希尔伯特大饭店而言，是否存在一个无法承受的无穷大？是的，有。
事实上，当我们有无穷多层的无穷大时，就不可能让所有这些人都住进希尔伯特大饭店。
所以……发生了什么？结果表明，之前描述的所有无穷，直到最后一个，都一样大。它们的大小为ℵ0（aleph 0，读作阿列夫零），这也是集合 ℕ={ 1, 2, 3, 4, … } 和希尔伯特大饭店中房间数量的大小。1874年，格奥尔格·康托尔提出了如何比较无穷大的概念，并证明存在不同大小的无穷大。
一些显赫的数学家（庞加莱、克罗内克和后来的的赫尔曼·尔）都强烈反对康托尔的观点。一些神学家也是如此，他们称康托尔的观点挑战了上帝的绝对无限的唯一性。而希尔伯特，则站在了支持并捍卫康托尔的一边。
比较无限集合的大小与比较有限集合的大小并没有太大的差别：若想要知道教室里的椅子数和人数哪个更多，我们并不需要分别数清有多少人和多少椅子才能比较这两个数字。我们只要瞥一眼房间，看看是否有空椅子（椅子比人多），或者看看是否有人站着没地方坐（人比椅子多）即可：如果每一个人都坐在椅子上也没有空出来的椅子，那么就意味着椅子的集合与人的集合一样大。
类似地，如果汽车上的每一位乘客都分配到了希尔伯特大饭店里的一个房间，没有剩余的空房间，那么，乘客的集合是一个与希尔伯特大饭店的间数同样大小的无穷大，都是ℵ0。利用这个想法，康托尔证明了实数集ℝ严格大于自然数的集合ℕ；他绝妙的论证被称为“康托尔对角论证法”（Cantor’s diagonal）。
康托尔还猜想并试图去证明连续统假设（Continuum Hypothesis，不存在严格大于可数集ℕ却严格小于实数集 ℝ 的无限集合），但他没有成功。希尔伯特将证明这个命题的真伪作为第一个问题，包含在了著名的于1900年在巴黎举行的国际数学家大会上提出的23个问题中——这些问题，将决定未来几十年数学研究的方向。
答案是，连续统假设不能被证明是错误的（哥德尔在上世纪40年代证明），但也不能被证明是正确的（Paul Cohen于1963年证明），这是一个不可判定的问题！
希尔伯特有一句关于康托尔的无穷大思想以及由此产生的新数学的名言：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。“