买彩票真的能实现财富自由吗？最近，美国的Mega Millions的头奖金额在10月23日的开奖日期前累积达到了史上最高：16亿美金！各路人士纷纷前往彩票点购买彩票，不少人也在社交媒体上晒买的彩票相片。最后，一位来自南卡罗莱纳州的超级锦鲤，选中了全部的6个数字。并且，TA是此次投彩人群中唯一一位6数全中的人，于是一人抱走了16亿美金的大奖。
买彩票可谓是一项全民娱乐的活动。一般来说，总有一群在积极地为博彩事业添砖加瓦，他们想着一夜致富，实现财务自由，走向人生巅峰。每隔一段时间，一些博彩会突然因为彩池的增长而挤上头条，吸引着越来越多的投机者，于是彩池进一步增大，头奖也积累得越来越高，一些平时不会买彩票的人也会跟个风。这风一跟，彩池就越来越大，真是个良性循环！这次的Mega Millions正是如此。
然而身为一名统计学教授，每每到了这种时刻，总是理智地看着周围人的疯狂。之所以记得2016年的Powerball Game，是因为当时我刚好教完一班本科生的概率课，正直寒假，但也挑灯夜战给班里的孩子们写了一封邮件，给他们计算了一下买彩票的期望回报，并指出买彩票从来都是亏本生意。后来我惊讶的发现，一个妹子看了我的邮件之后，反而跑去多买了五注……所以啊，人的投机心理不可小觑！
那么Mega Millions是否值得买呢？这就需要我们先来了解一下Mega Millions的玩法。最基本的规则，就是你花2美金，选6个数字。这6个数字的其中5个数字，你可以从1到70的整数之间任选5个；第6个数字，你可以从1到25中任选1个。最终开奖也是按这样的抽法。若是能6个全中，你就能获得头奖，头奖的金额预先并没有设定好：若是多次开奖，头奖都没被赢走，那就意味着下次的头奖会积累得更大。
从奖金的数量上来看，很明显，“5+0”比“4+1”更值钱，因为发生“5+0”的概率比发生“4+1”的概率更低。为什么同样都是6个里中5个，概率会有如此差别？瞧，奖金可是有着100倍的差距呢！那么发生“4+1”的概率真的比发生“5+0”的概率高100倍吗？其实算出每种情况的概率并不难。高中数学课教过“排列组合”的概念，这里需要的是“组合”。举个例子：假设你要从1到5选出3个数，有多少种不同的选法？
用最基本的枚举法，我们就可以列出所有的可能性：枚举法告诉我们有10种不同的选法。但如果使用“组合”的概念和公式，我们能更快得到正确答案。
回到“5+0”的概率与“4+1”的概率相比较的问题。“5+0”有两部分。第一部分是70选5的时候5个全中，即最后开奖的5个数与你选的完全吻合，也意味着开奖没选的65个数你一个都没选。
这一部分的概率为：第二部分是25选1的时候没中，即最后开奖的1个数你没选，也意味着开奖没选的24个数你选了一个。这一部分的概率为：最后，这两部分共同决定你得到“5+0”的概率，我们要把这两部分乘起来，得到：这表示得到“5+0”的概率接近0.00000008。而用同样的计算方式得出，买中“4+1”的概率大约为0.000001，是“5+0”概率的大约13.5倍，与100倍的奖金差相差甚远……
然后我们来看看买Mega Millions是否是好的投资。这里需要引入一个期望回报的概念，即奖金乘以概率，如下表所示：因为头奖金额一般未知，所以先考虑其他已知奖金的期望回报，总和是0.2286273，即你每花2美金买一张彩票，你的期望回报是0.23美金，赔本生意！不过，当Mega Millions的头奖涨到16亿美金的10月23日，你的总期望回报可以达到5.516566，相当可观！
只可惜，你能中到头奖的概率微乎其微：大约0.000000003，即每3亿张中一张。而且，若是有多人选中，你还需要和别人平分……不仅如此，中奖者最后可是需要交纳高额的税金哒！所以彩票最终富的是政府财政啊！
最后，我们来介绍一下计算不同中奖类别的概率所服从的概率分布，即超几何分布。比如总共有N个球，其中K个为红色，（N-K）个位蓝色，现在任意抽取n个球，其中有k个红球的概率就服从超几何分布，其概率质量函数为：是不是看起来很眼熟呢！再回头看看一次头5个全中的概率：统计学版惊悚片告诉我们：小赌怡情，但请不要妄想能靠彩票发大财，还是脚踏实地赚钱养家比较靠谱啊。