今天，我们一起做个游戏。取一张纸条，将纸条的一端扭转半圈，然后将两端粘贴起来，形成一个环形。接下来，拿出一支铅笔，沿着这个环形带的中央画一条线。你发现了什么？是的，这条线沿着纸的一面跑到了另一面。这种带子就是所谓的莫比乌斯带。其实，将纸的一端扭转3个、5个、7个，或者任意奇数个半圈，都会看到相同的现象。你能够从纸的一面不知不觉抵达另一面，而不用戳破这张纸，是因为你将这张纸变成了一个单面物体。
然后，就像在埃舍尔的木版画《莫比乌斯带II》中一样，红色的蚂蚁可以优雅地沿着莫比乌斯带爬行，无休无止。游戏还没有结束。再拿出一把剪刀，沿着你刚才画的线将莫比乌斯带剪开。你得到两条更窄的莫比乌斯带了吗？并没有。出现的是一条更细却更长的双面环形，你再也无法连续地从纸的一面跑到另一面了。如果你手头没有一张纸、一支笔，或者你只是懒得做，没有关系，你可以在头脑中做“假想实验”。
或者，凝视下面这张埃舍尔的《莫比乌斯带I》，想象一条莫比乌斯带沿着中心线被切割时，会发生什么。此刻，你可能觉得莫比乌斯带视觉上看来真是颇为酷炫啊。然而，莫比乌斯带最重要的影响却是在数学领域，它推动了整个拓扑学领域的发展。拓扑学是什么呢？猫君说：“拓扑就是，无论我变成什么形状，你都要认识我。
”科学而严肃的说法是，拓扑研究的是当物体被移动、弯曲、拉伸、扭转，但是不能切割或黏合不同部分时，那些保持不变的特性。就像咖啡杯和甜甜圈一样，它们都只有一个孔，可以通过拉伸、弯曲，将一个变形成另一个。也就是，它们具有相同的拓扑结构。一个物体的孔的数量只有在切割、黏合时才会改变，这种特性在数学上被称为“亏格”（genus），也就是相对于浑然的球面缺失的部分。
完好无损的球面，亏格为0；有一个孔的圆环面（如甜甜圈），亏格为1；有两个孔的表面（如剪刀），亏格为2，以此类推。所以，每一次你多打一个耳洞，你身体的拓扑结构都会发生根本改变，因为它的亏格增加了。然而，如果你不这么伤害自己的话，就会发现，无论是蘑菇、大树，还是蜻蜓、犀牛，它们的拓扑结构可以说都是相同的，大概是因为所有生命都是由一只细胞逐渐长成的吧。
然而，不幸的是，一个莫比乌斯带和一个普通的双面环形似乎都有一个孔，从拓扑角度看来，亏格这种特性无法区分它们。它们的不同究竟在哪里呢？我们再来做个游戏。观察下面这个沿着莫比乌斯带爬行的螃蟹，当它转过一整圈后，强壮的似乎是左螯（大钳子），但是再转过一整圈后，强壮的似乎变成了右螯。
想象自己生活的的世界就是这样一个透明的莫比乌斯带，并沿着这个表面散步，假设在你出发的地方有一行文字，那么，当你散步一圈回到原来的位置时，会发现这行文字变成了它的镜像，原本从左向右阅读的文字如今不得不从右向左阅读。在双面环形上，无论走到哪里，这行文字都是从左到右书写的。
将莫比乌斯带与双面环形区别开来的这种特性，被称为可定向性（orientability）：莫比乌斯带是不可定向的，而双面环形是可定向的。与孔的数量一样，物体的可定向性也只能通过切割或黏合来改变。从是否可定向的角度看来，莫比乌斯带与双面环形的拓扑结构是不同的。可定向性的概念具有重要意义。比如说化学上的对映异构体，它们的化学结构完全相同，除了一个关键的区别：它们互为镜像。
例如，化学物质左旋甲基苯丙胺是一些非处方（OTC）鼻腔去阻塞吸入剂的活性成分，而右旋甲基苯丙胺则是一种非法毒品，其对精神方面的影响是左旋甲基苯丙胺的5至6倍。莫比乌斯带为研究自然世界开辟了新的道路，拓扑学的研究不断取得惊人的成果。
2016年，诺贝尔物理学奖授予了在拓扑相变和拓扑相领域做出杰出贡献的科学家；2017年，拓扑学引领科学家发现了奇异的新物态；2018年的菲尔兹奖授予了Akshay Venkatesh，因为他将拓扑学与数论等其他领域结合了起来。甚至在日常生活中，塑料瓶背面的可回收标记，也是一个莫比乌斯带。1858年，德国数学家奥古斯特·莫比乌斯（August Möbius）发现了这种单面环形结构。
（事实上，另一位名叫Johann Benedict Listing的数学家在几个月前独立发现了这种几何结构，但是他直到1861年才发表了自己的工作成果。）当时，他在莱比锡大学担任天文学和高等力学讲座教授。莫比乌斯似乎是在研究多面体的几何理论时邂逅了莫比乌斯带。多面体是由顶点、边和平面组成的立体图形。
除了莫比乌斯带，一种由两个互相嵌套的正四面体形成的几何结构被命名为莫比乌斯结构，莫比乌斯也是第一个将齐次坐标引入投影几何的人。在英国数学家古德里（Francis Guthrie）提出“是否只用四种颜色就能为所有地图着色？”这个问题之前，莫比乌斯已经在思考一个类似的拓扑学问题。其实，他在天文学上也发表了重要的作品。
莫比乌斯的传记作者Richard Baltze惊叹于他的原创性，他写道：“他的直觉、他为自己设定的问题、他找到的答案，都表现出一种非凡的独创性，一种自然的原创性。他不慌不忙地，独自静静地工作……不急不忙，没有浮夸，也没有傲慢，直到他心灵中的果实自然成熟。”150年前的1868年9月26日，莫比乌斯去世。
我们似乎仍然能够从那些绘制的平面图像中，感受到他发现莫比乌斯带的灵感瞬间，那个瞬间，一颗遥远的星辰闪烁了一下。