有数学史学家认为，20世纪以后，只有“两个半”真正意义上的全能数学家，第一个就是庞加莱（Jules Henri Poincaré），另一个是冯·诺依曼（John von Neumann），那半个指的是希尔伯特（David Hilbert）。
事实上，庞加莱不仅在数学的算术、代数、几何、分析四个主要领域取得了开创性的贡献，而且在天体力学、物理学和科学哲学等领域也有杰出成就，因此被数学史权威评价为“对数学和它的应用具有全面知识的最后一个数学全才”。
很难说庞加莱是不是数学神童，因为直到15岁时他才开始表现出对数学的兴趣。162年前的今天——4月29日，在法国洛林地区南锡（Nancy）城一个殷实的家庭里，庞加莱降生了。他的父亲是法国颇有名望的医学教授和生理学家。相比于同龄人，庞加莱年幼时的形象思维和语言表达发育较晚，5岁那年患白喉后情况更加严重，视力不好，行为迟缓，有时还辞不达意。
由于视力上的障碍，庞加莱听课只能靠听和记忆，也许正是经过这样的锻炼，他的大脑出奇地发达。庞加莱读书几乎过目不忘，可以不借助纸笔作复杂的数学运算，还可以直接写出一次定稿的大篇文章，显示了惊人的记忆力和逻辑思维能力。1873年，19岁的庞加莱参加了巴黎综合理工学院的入学考试，那是一所以刻板的考试而闻名世界的学校。
他靠大脑运算轻松地解决了主考官特意为他设计的难题，尽管他的几何作图得了零分，学校也破格录取。
在巴黎综合理工学院读书期间，他在完成主修课程之余还兼做临时工程师，展示出充沛的精力。6年后的1879年，年仅25岁的庞加莱以微分方程研究的论文获博士学位。当年冬季，卡昂大学（Universityde Caen）聘庞加莱担任数学分析课程的教职，庞加莱欣然应聘，由此踏上毕生从事教学和研究事业之路。1881年他被聘为巴黎大学教授，担任数学和理学院的课程，直到31年后的1912年7月17日逝世。
庞加莱于1904年给出了数学上最著名猜想之一——庞加莱猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一（其余还包括P/NP问题、霍奇猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性与质量间隙、纳维-斯托克斯存在性与光滑性、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想）。该猜想表述为：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
1905年，庞加莱给出了更严谨的表述：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”被称为“高维庞加莱猜想”。
百年来，许多著名的数学家，包括怀特海（J. H. C. Whitehead）、R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和帕帕基里亚科珀乌洛斯Christos Papakyriakopoulos声称完成了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔证明了五维以上的庞加莱猜想。
1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。而三维猜想直到2006年才确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（俄语：Григорий Яковлевич Перельман）完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖。
“人生就是持续斗争。如果我们偶然享受到相对的宁静，那正是因为我们的先辈顽强斗争的结果。假使我们的精力，我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们刻苦钻研的斗争成果。”1912年6月26日，庞加莱在病逝前作了最后一次公开演讲。1912年7月17日，庞加莱那不停思维的大脑因脑栓塞才停止了工作。