“棒棒糖需要舔多少口才能被完全吃掉？” 这几乎是一个世界性的问题。80年代美国的一则著名的棒棒糖广告中，一位小男孩向森林中的动物们请教这个问题，最终猫头鹰先生（Mr. Owl）告诉他说我们应该用实验来检验。猫头鹰开始实验，但是到第三口就忍不住把棒棒糖咬碎了——于是得出了3口这个最终结论。广告的最后说：“棒棒糖需要舔多少口？世界可能永远也不会知道。”
在纽约大学柯朗数学研究所应用数学实验室（Applied Maths Lab），我和我的团队意外发现了这个问题的答案——说意外，是因为我们研究的初衷是为了解释溶解过程在自然界中的作用。自然界中，有水流过的地方都会留下水特有的痕迹。比如说，在河边我们可以捡到椭球形的鹅卵石，在草原上我们可以看到弯曲的河流，在海底我们会看到起伏的沙丘。
这些过程涉及两个重要元素：一方面，水在流过固体表面时，通过侵蚀或溶解带走了物质，从而改变了固体的形状；另一方面，改变了形状的物体又会干扰到水的流动，从而改变水流的速度并且影响物质被带走的速度。集合了这两个元素的流体力学问题统称为变边界固体-流体相互作用问题。
那棒棒糖是怎么乱入的？而我们正是好奇：是什么原因，让水流将固体塑造出如此有特点的形状。正如米开朗琪罗所说：“每块石头中都存在着一尊雕塑，而雕刻家的作用便是去找到它。”水流侵蚀现象很多，我们先选择了溶解来作为研究的方向。并且从最简单的几何形状——球形，以及最基本的水流——均匀水流（流速处处相等的水流）作为起点。我们希能通过这样的简单组合来了解固体在水流中溶解的基本规律。
球形的可溶固体哪有呢？
我们自然地想到了棒棒糖。但我们很快发现，市售的棒棒糖都包含了大量的气泡，而气泡的存在会影响溶解中固体的形状。在确认市售的棒棒糖存在缺陷后，实验室的成员们首先妥善处理了剩余的棒棒糖，并在这之后开始了自制糖球的过程。经过多次失败的尝试后，我们发现将白糖、糖浆与水以8：3：2的体积比混合后加热至150摄氏度，然后将还能流动的高温糖浆注入到球形模具中冷却，便可以得到口感与质量兼得的硬质糖。
最终实验中所用到的直径为6厘米的巨型棒棒糖，就是由我在自己的家中使用这样的传统工艺制作出来的。这个大小正合适：太大了无法放入实验水洞中，太小了溶解过程持续的时间又可能太短无法记录。当然，最主要的原因在于我买的球形模具恰巧是直径6厘米的……
在得到合适的糖球后，我们将其放置在能产生均匀水流的实验用水洞中，并且通过照相机来记录糖球形状的变化。
我们发现，糖球在溶解的过程中会形成下图中所展示的独特形状（水流从左边流向右边）。接下来的图是将反光的颗粒放入水中后，长时间曝光所得到的照片。我们可以看到，水流将糖球雕刻出了圆而光滑的前部，在这之后由于水流从固体表面分离导致了球面上两道明显的分离线，更之后由于水流在尾流区的混合使糖球的后部形成了平滑的表面。
糖球的前表面所形成的完美的光滑曲面吸引了我们的注意力——这样的几何形状是溶解过程所带来的普遍结果吗？因此，我们又选择了其他形状的几何体，并将最终溶解后的形状与糖球溶解后的形状相比较。下图中，不同颜色的曲线代表了糖在不同时刻的截面形状。我们可以看到，虽然起始形状不同，但是最终它们的前表面都被水流慢慢侵蚀成了相似的曲面。
实验结果说明：这样的曲面确实是由于水流侵蚀所造成的。而且，随着时间的推移在固体表面上流体溶解的速度（表面后退的速度）在不同的区域会慢慢变成同一个常数。这似乎说明，水流侵蚀所形成曲面的几何形状会导致均匀的溶解率——而均匀的溶解率又能保持这个曲面形状不变，只是自相似地不断缩小。这样的一个结论便自洽地解释了，为什么这样的形状会成为固体在液体中溶解的最终形状。
那么这样的一个曲面对应着什么样的几何形状？
应用数学实验室的尼古拉斯·莫尔（Nicholas Moore）博士通过共形变换的方法解析的找到了这个曲面的形状：在这里φ代表在曲面上每点切线与水平线的夹角，s代表弧长（在最前端为0，分离点为1）。而Li2是一个二阶多重对数函数。不要被这个奇怪的表达式吓到，我们发现在经过泰勒展开后，这个表达式的前几项非常接近一个圆的泰勒展开。
这样代表着如果我们把在实验中的到的形状拟合在一个圆上，我们应该会得到非常接近的曲线。下图便是这个拟合的结果，其中的两条实线分别来自于上图中的两个不同的初始形状。
事实证明，在溶解过程最终产生的曲面的截面确实是一个圆形的一部分——也就是说这个轴对称的三维曲面是一个球面的一部分。这可以说是实验中最令我喜欢的发现。换句话说，不论初始形状是什么，只要水流的速度均匀（比如说矿物溶解在河流中）我们都可能会看到这样近似于球形的形状出现。
在得到了这样的一个形状后，我们又注意到糖球在溶解的过程中溶解速率在不断地增加。因此我们便希望理论求解糖球的体积是如何随时间变化的。
通过边界层方法我们可以得到下面两个公式：这里的V代表糖球的体积，t代表时间，tf代表糖球完全溶解所需要的时间，U0代表水流的流速。第一个公式告诉我们，糖球的体积会随时间的平方递减。而第二个公式告诉我们，糖球完全溶解所需要的时间是和水流流速平方根的倒数成正比的。这和我们的直觉一致，就像搅拌咖啡一样，快速的搅拌可以加快糖的溶解。
我们发现，这两个公式与实验结果非常吻合。
它们也许会在工业领域特别是制药业发挥用途——譬如，判断药片需要多长时间才能在胃液中溶解。在得到了这个公式后的某一天，应用数学实验室的雷夫·里斯托弗（Leif Ristroph）教授突然想到，这个公式似乎可以解释那个困扰着很多人的难题——棒棒糖需要舔多少口。我们决定——不进行这个臭名昭著的实验，而选择在那天下午聚在一起，用我们新得到的公式算出了这个数字——1000口！
这听起来挺吓人的，直到我们在推特上找到了RiffRaff41同学的实验报告：在实验数据的证实下，我们的预测多少还是可以接受的。也幸好我们得出了这样两个公式，才使我免于真正去做这个高难度的实验。