拓扑学是描述数学空间，特别是其空间形状的属性的一个数学分支。拓扑学家处理的很多形态都是非常奇怪的，种类太多以至于几乎所有的日常物体（如碗、宠物和树木等的）的形态只占了拓扑学研究范围的一小部分。"拓扑"(Topology)一词源于希腊语，表示地点(topos)和研究(-logy)。
拓扑学在许多研究领域都作为指南，有非常突出的重要性：理论物理 (尤其是量子力学，例如量子域和弦理论)、宇宙学 (例如确定宇宙的形状)、生物学 (例如螺旋压缩的 DNA 和预测器官和其他身体部分的生长)、计算机科学 (例如确定数据集的大结构)、机器人(例如设计机械臂的运动基础空间形状的尺寸或手臂关节数)、建筑学（例如研究建筑形态与场地间的关系）。
作为基于计算机辅助技术的、以机械臂及其他精确工具为加工手段的数字化建筑学，不难看出占据了以上研究领域的半壁江山，更不要说，有时我们还可能会用到仿生学、结构、流体力学等其他研究领域的知识以作为性能化研究的基础。所以拓扑学在数字化性能化建筑研究中的基础地位不言而喻。所以，今天让我们来真正的了解一下，这个熟悉而又陌生的词汇——拓扑，了解一些在拓扑学领域最基本的概念。
拓扑学研究形状（特别是在经过了扭曲、拉伸或变形后的形状）的属性。这一系列可能的变换方式，有一个数学名词来描述叫做连续变形，大概是指“伸展变化，而不是撕裂或合并”。例如，一个圆可能被拉伸到椭圆或像手的形态，但我们并不能将他中间挖出一个洞，成为一个类似甜甜圈的形态。撕裂和合并会造成不连续性，所以他们在拓扑变形中不被允许。
可以被拉伸变换成为同一个形态的两个物体被称为是“同胚”的（homeomorphic），来源于拉丁化的希腊文“相似”（homeo-）和希腊文“形式、形状”（morphe）。通过拓扑化的观察视角，几乎所有的日常用品都同胚于球体或者环（甜甜圈）。
在连续的变形下并不会改变的物体的一个属性被称为欧拉特征数（欧拉示性），以18世纪德国数学家莱昂哈德·欧拉命名。
为了更好的了解欧拉特征数，我们首先以球体（或与球体同胚的物体，例如我们的大脑袋）贴上瓷砖为例。我们数出这个物体的面，边和定点的数量，然后将面的数量（F）加上顶点的数量（V）再减去边的数量（E）：F+V-E。无论你怎样将物体的表面进行怎样的细分贴上瓷砖，我们最终会发现他的F+V-E始终等于2。
因为5种柏拉图基本多面体（由同一种正多边形组成的三维体）与球体是同胚的，所以如上一段所说的一样，他们的欧拉特征数都为2。
至今为止，文中我们讨论过的所有形状都是具有方向性的。这意味着如果有一只小虫沿着物体的外表面爬行，它永远也不会爬到内表面上。但实际上，没有方向的曲面是存在的，意味着小虫可以在两个面上同时爬行，可能大家都非常熟悉的一个著名的例子就是莫比乌斯环（欧拉特征数等于0）。
虽然像“莫比乌斯环的两个面“这样的说法有利于介绍我们的概念，但是这与拓扑学的思想是背道而驰的，因为在拓扑学中任何曲面都是二维的，所以在其中的生物也是二维的。所以在这样的理论背景下，想像一个二维的虫子住在一个二维的曲面内部可能更加合适。在有方向的曲面中，我们有右手方向的虫子，和左手方向的虫子（看过上文视频，应该不难理解，即对曲面正反面的定义。用过sketchup和maya的同学应该也有深刻的认识）。
但是对于没有方向的曲面，右手方向和左手方向的虫子是无法被区分的（这也是为何在maya中无法做出一个连续的莫比乌斯环面）。
拓扑学只存在了几个世纪，但已经有丰富的历史上被提出的问题和子领域:柯尼斯堡七桥问题常被作为是拓扑学所研究的第一个问题，在古普鲁士的柯尼斯堡镇有七座桥，人们曾希望知道是否可以一次性的穿过这七座桥而不走重复的路。欧拉在1735年证明了这是不可能的。
所有的指纹都具有共同的特点，如环点和三叉点（三条线融合）。在1965年，英国医学遗传学家LionelPenrose指出掌纹和指纹服从一个普遍的规律：任何有5只手指的手，三叉点一定比环点多4个。（1979年他的儿子Roger使用拓扑学证明了这一规律）。1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。