复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。
数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：
复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：
我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。
这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：
数域扩张的历史
来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：
自然数到整数
数学刚开始也是一片空白：
0的出现就是数学的奇点：
根据皮亚诺定理“爆炸”出了自然数域：
很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：
添加负数之后，有一个问题就出现了：
我们知道是对的缩写，并且容易推出如下计算规则：
我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：
更一般的有：
并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：
整数到实数
很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：
来填满这些空隙（示意图）：
还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：
自然会有这么一个问题：
是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。
复数基础
往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。
复数的运算规则
复数的运算规则并非凭空捏造的。形如：
的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：
如果、，可以得到方程：
从图像上看，与有三个交点的：
套用通解会得到：
这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：
那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。
复数加法、减法的几何意义
为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量有：
复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（），纵坐标是虚轴（），下图还把刚才的符号给标了出来：
加法的几何意义和向量也一样：
但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。
根据刚才的乘法规则，计算可得：
画出来发现，两者是正交的：
还可以从另外一个角度来理解这一点，在复平面上是这样的：
那么，乘以虚数，就是：
对于一般的向量，也符合这个规律：
好了，知道这些差不多了，开始正题。
复数域的扩张
好了，轮到复数域了，复数定义为：
那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：
这个问题可以用欧拉公式：
来回答，取，可得：
画出来就是复平面上模长为1，幅角也为1的点：
更一般的，欧拉公式说明，是单位圆上幅角为的点：
但是，欧拉公式凭什么长这个样子！
的定义
欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。
实数域中的函数，起码有三种定义方式：
极限的方式：
泰勒公式的方式：
导数的方式：
从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。
极限的方式
因为：
我们可以大胆地令：
那么之前的就等于：
我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为对应的是单位圆上幅角为1的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为1：
然后取，可以得到：
根据复数的乘法规则，可以看出：
取：
取，已经很接近单位圆上幅角为1的点了：
对于更一般的也是同样的：
当时，就很接近单位圆上幅角为的点了：
可以证明当时，为单位圆上幅角为的点，也就是得到了欧拉公式：
可能你还会问，直接替换为，合理吗：
这里是理解欧拉公式的关键，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？
打个比方吧，在实数中“除以”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：
欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。
泰勒公式的方式
实数域下，有这些泰勒公式：
也是直接替换，令有：
这也有漂亮的几何意义，看看的前三项：
这是三个复数相加，加出来就是：
再增加第四项：
随着，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为1的点。对于更一般的也是类似的螺旋：
导数的方式
实数域有：
直接套用：
假设是时间，那么是运动在复平面上的点的位移函数，时位置为：
的运动速度，也就是导数。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于（根据乘法规则，乘以表示旋转）：
并且不论等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：
而速度的大小就是速度的模长。之前说了，对于两个复数，它们的模长为，那么：
肯定等于1了，在单位圆上运动，所以其模长也为1，所以速度的大小为：
速度大小为1意味着时刻走了长度的路程。而在单位圆上运动，那么时刻运动了弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为：
总结
有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：
其中：
个人觉得只是复数的初始形态，而才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：
那么有：
几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：
到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。
欧拉公式中，如果取，就得到了欧拉恒等式：
这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的、、、、，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。