黎曼度量的计算问题，这是⼀个介于基础数学和应⽤数学之间的问题，⼀⽅⾯具有强烈的理论价值和美学价值，另⼀⽅⾯也具有巨⼤的实⽤价值。黎曼度量是微分⼏何的核⼼概念，计算黎曼度量⾃然具有根本的重要性，也具有本质的难度。
很多⼯程领域的基本问题，例如计算机图形学中的曲⾯纹理贴图，计算机视觉中的形态识别，动态追踪，⾃动驾驶，⼯业软件中的⼏何建模，⽹格⽣成，和医学图像领域中的基本问题，例如器官配准，癌症诊断等等最终都归结为求取某种黎曼度量。但是，传统的数值计算⽅法，例如有限元⽅法、有限体积法等等⽆法直接⽤于计算黎曼度量。
黎曼度量的计算问题可以简单归纳为下⾯⼏个问题：
1. 给定拓扑，如何计算流形的标准黎曼度量，例如常值曲率度量；
2. 给定曲率，如何计算满⾜曲率条件的黎曼度量；
3. 给定特定条件，例如和乐群，如何计算满⾜条件的黎曼度量；
4. 给定黎曼度量，如何计算流形的等距嵌⼊。针对不同维数的流形，不同拓扑的流形，不同要求的问题，我们需要⽤到不同的基础理论和不同的计算⽅法。并且，⽆论从基础理论层⾯还是实⽤算法层⾯，这些问题都远未解决，有待基础数学家、应⽤数学家、计算机科学家和⼯程师们的持续探索。
曲⾯度量的计算
曲⾯上黎曼度量的计算问题⽬前发展相对成熟，其基础数学的理论基础早在⼀百多年前就已经奠定：克莱因（Felix Klein）在1883年、庞加莱（Henri Poincare)在1882年分别提出黎曼⾯（代数曲线）的单值化猜想，庞加莱和Koebe在1907年分别给出严格的证明。
曲⾯单值化定理是说任何带有黎曼度量的曲⾯，都可以保⻆变形成常⾼斯曲率曲⾯；换⾔之，任何带度量的曲⾯都可以（周期性地）保⻆映射到三种标准空间中的⼀种：单位球⾯（零亏格曲⾯），欧⽒平⾯(壹亏格曲⾯)，双曲圆盘（⾼亏格曲⾯）。虽然这⼀定理⾮常古⽼，但是⾮专业数学背景的普罗⼤众理解起来依然困难重重。
最为本质的障碍在于双曲曲⾯虽然客观存在，但是⽆法在三维现实空间中实现，因⽽⽆法被⼈类感官所感知，只能仰仗抽象思维。
凸曲⾯度量的计算凸曲⾯的黎曼度量计算问题相对简单，其基础理论在1950年代由俄罗斯学派建⽴，主要包括闵可夫斯基（Minkowski）问题，亚历⼭⼤（Alexandrov）问题和伟伊（Weyl）问题，⾼维推⼴由丘成桐先⽣，Nirenberg，Pogorelov在1970年代完成。
闵可夫斯基问题：给定⼀个光滑凸曲⾯嵌⼊在三维欧式空间中，通过⾼斯映射，我们将曲⾯上任意⼀点映到该点处的单位法向量，由曲⾯的凸性，⾼斯映射是微分同胚。我们可以⽤⾼斯球⾯来参数化凸曲⾯。我们将曲⾯的⾼斯曲率通过⾼斯映射前推到⾼斯球⾯上，得到球⾯上⼀个正值函数。如果给定⾼斯曲率函数定义在⾼斯球⾯上，如何反求凸曲⾯形状（从⽽得到曲⾯的黎曼度量）？
闵可夫斯基问题离散化之后等价于给定凸多⾯体每个⾯的法向量和⾯积，反求凸多⾯体。我们将每个⾯的⾼度设为变量，⾼度与⾯积的加权和为常数，极⼤化多⾯体的体积，如此可以求得凸多⾯体。