这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，使得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，我也是其中一个。事情大致是这样的。9月20日当地时间12:04，北京时间晚上6:04分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在9月24日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。
有些人可能奇怪了，我们中国人好像都知道，数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实并没有那么高，既不是希尔伯特23问题，也不是千禧年7问题，出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的数学皇冠上的明珠是黎曼猜想。
它是当之无愧的，因为它是希尔伯特23问题和千禧7问题中唯一重合的问题，而且在千禧7问题中排名第一，克雷研究所为它开出的悬赏金额是100万美金。但数学圈也有这样一个梗：问：这世界上最难挣的100万美金是什么？答：证黎曼猜想。我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火，所有人都在翘首以盼4天后的海德堡获奖者论坛演讲。
今天是9月26日，演讲会开过了，证明论文也公布了，于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是——“大老李聊数学”的大老李，他微信公号和电台节目都叫“大老李聊数学”。
我们去年春节期间在上海一起吃过饭，虽然叫“大老李”，其实他一点也不老，目前工作生活在海外。喜欢数学的朋友，强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果内容有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。
咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖双料的得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，而是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过90大寿啊。9月24日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。
在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页！那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那100万美金到手了吗？
唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。什么是黎曼猜想？黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。
可以说，质数从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类（大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？）不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？
比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229个，10万以内是9592个，但是1亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个ln是什么鬼了。
就是以e为底数的对数，这是一个无理数，就好像圆周率π约等于3.1415926535897932384626433巴拉巴拉，这个e约等于2.718281828459巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如ln10000的意思就是2.718的多少次方等于10000呢？
答案约等于9.21，我们把10000代入高斯猜想，约等于1086，和实际的质数个数1229比较接近，如果把100000代入高斯猜想，结果是8686，和实际的质数个数9592也比较接近。经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式，这个估计式被称作质数猜想。
这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。
黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造，并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。
我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛。第一件事情是1854年，黎曼为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。
就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。
就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。
我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的：y= 1/1^x +1/2^x +1/3^x +1/4^x +…这个x如果取1，那么就是1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x取-1,那就刚好是所有自然数的集合1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。
但如果这里的x取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要x的取值是大于1，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果y的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。
所以，这个zeta函数想要画出有意义的函数图像，x的取值就必须是大于1，我们就把这个大于1称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，一般来说，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你走上科研之路。从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。
刚才讲的是zeta函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼zeta函数是对欧拉zeta函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取1的时候是发散的。黎曼zeta函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上。
这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼zeta函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。
然后有人就把-1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是(-1/12)吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。
考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做非平凡零点。对此，他提出了三个命题：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。
这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为的这条线上，被称为“临界线”。
这个命题就是著名的价值100万美元的“黎曼猜想”。本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！黎曼猜想就是说：黎曼在欧拉的一个叫zeta函数的基础上，拓展出了黎曼zeta函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量x的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2这个点的直线上。
嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什麼宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。黎曼猜想难在哪儿？
黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。
不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。
你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。
有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根1946年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。
要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼。
黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道所谓质数的“分布情况”。
就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。
而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了99%，但距离100%还有无穷远。
另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在e的700多次方这种恐怖的大数字之后。另一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏一百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。
这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明：一个是关于“高斯类数”的命题。这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。
这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。另一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。
这个常数与黎曼假设有这样的关系：如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。如果该常数小于0，则黎曼猜想是真的，且有“余地”地偏向真。如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。那现在对这个常数的研究结果是是什么？目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。
所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。
还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是：第一周，他会尝试证明黎曼猜想；第二周，他会尝试证伪黎曼猜想；第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理。数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。
换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊！第一时间就尝试搜索英文相关报道。
但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个：阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。
阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex 6-sphere”）的文章。阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。
但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果”。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。
后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。
阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。
从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续2年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。
关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的：事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪，保持缄默令其不了了之（事实上，阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误）。
若如此，“吃瓜群众”的议论也许就是全部议论了。我和大老李对此观点都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99%的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如500年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？
但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。
但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。
说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法ECC，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？
但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。