想要从幂律型的数据中获得尽可能多的信息是⼗分具有挑战性的。近⽇发表于Nature Reviews Physics的⼀篇⽂章指出在研究幂律分布时，涌现的标度不变性（scale invariance）所带来的误区和⼀些重要机会。
幂律出现在许多知识领域中——从语⾔学的词汇使⽤，到经济学的收⼊分配。有⼤量⽂献在发现和计算⾃然中的幂律现象。新发表的有趣的结果可能会涉及到跨越⼗到⼆⼗年的数据[1]：我们需要好的⼯具来表明幂律是真实且准确的。简⽽⾔之，幂律拟合容易，但测量和解释好很难[2]。那么，研究幂律——基于涌现标度不变性这⼀统计物理学的关注对象——有什么特殊挑战？存在什么样的机会能够让我们从数据中提取更多的科学知识？
许多系统在变⼤时，会展现出分形结构和具有标度不变性的涨落，这些描述系统⾏为的规则在越来越⼤的系统中也是相同的。
连续相变（例如铁磁体中的居⾥点）、⽆序系统的动⼒学⾏为（例如脱钉相变（depinning transitions）、裂纹噪声（crackling noise）、雪崩）、混沌边缘、地震、充分发展的湍流，以及股票市场的⾏为，都表现出涌现标度不变性的明显迹象，所有系统在各种⾏为的观测中都显示出幂律特征。
在许多这样的系统中，重整化群（renormalization group, RG）[3]可以有说服⼒地解释系统中出现的幂律。重整化群通过系统粗粒化，然后缩放（重整）参数以及观测值，以达到⼀个不动点。
在⼀些系统中（例如湍流、地震）这是⼀个共识。在另外⼀些系统中（例如玻璃[4]，随机矩阵理论[5]）存在普适的临界指数和普适的缩放函数，但还没有重整化群的解释。重整化群预测了和各种变量相关的幂律分布，这些幂律分布在理论和实验普遍共享，同样在（同⼀个“普适性类”下的）截然不同的实验系统之间共享。如果Z依赖于X，那么Z~Xβ通常是⾮平凡的，可能是超越的，普适的临界指数β。
重整化群还预测了涉及两个以上参数或可观测值的普适缩放函数。如果Z依赖于X和Y，那么α也是⼀个普适数，Z是⼀个普适函数。由于这些强⼤的普适缩放函数，实验⼈员和模拟⼈员在测量这些幂律时⾯临的挑战和最有成效的机会，⼏乎总是会涉及幂律的修正和修改。
我们从有限尺⼨缩放（finite-size scaling）开始，描述系统在⼀个尺⼨为L的⽴⽅体盒⼦中（或在⼀个尺⼨为L的晶粒中）的⾏为。假设我们的系统显示了跨度很⼤的雪崩，尺度⼤⼩为S。则雪崩运动的尺⼨在S和S+dS之间的⽐例为：其中df为雪崩的分形维数，因此横跨系统的雪崩具有典型的尺⼨S~Ldf。
⽐盒⼦⼤的雪崩⾃然会被强烈抑制！所以当辐射⻆超过1时，A迅速减⼩。相反，如果A在其辐射⻆趋于零时趋于⼀个正的常数，那么⾜够⼩的雪崩将具有预测的普适的幂律体积分数S1-τ。但是，在⼀个A会变化的区域测量雪崩的实验或者模拟中，我们常会发现⼀个相当好——但不正确的——幂律拟合（⻅图1a）。
更好的做法是改变系统的⼤⼩（或者是晶粒⼤⼩），然后做⼀个尺度坍缩（scaling collapse）来找到⼀个A：画出和的关系，变化以及df直到全部的曲线重合（⻅图1b）。
图1：随机场Ising模型的标度律和雪崩。（a）雪崩概率分布；（b）同样数据的尺度坍缩，以及对标度函数A的拟合。
当⾏为达到系统的⼤⼩时，有限尺⼨缩放会产⽣重要的修正。但是对于⼩尺度来说，重要的修正是什么？
或者对于⼀个远离临界点的系统？有两种类型的次级修正（Subdominant correction），即缩放的奇异修正（singular correction）和缩放的解析修正（analytic correction）。例如，液⽓临界点的⾃由能是这样的形式：变量u是⼀个⽆关控制变量：在t=0时，u乘以0，也即当接近临界温度Tc和临界压⼒Pc时，它的重要性越来越⼩。
函数+...和是解析的幂级数，它们体现了温度和压⼒如何映射到Ising普适性类中的“⾃然”重整化群参数t, h, u上。
通过对u，T-Tc，P-Pc做泰勒展开，可以得到T-Tc更⾼次幂的修正。特别的，⽆关变量u会产⽣⽐主导奇点⼩倍的
对缩放的奇异修正。
当我们有超过⼀个变量的缩放函数时，如⽅程3，尺度坍缩就不再有⽤。⼀个强⼤、令⼈满意、数值上⽅便的⽅法就是对数据[6-8]进⾏多参数拟合，不仅改变了参数如β、δ、u、Tc、Pc、a、b、c等，⽽且还改变缩放函数F的参数化函数形式。
拟合函数形式还有三个好处。⾸先，它们不仅提供了对普适临界指数的估计，⽽且还提供了普适缩放函数。其次，它们考虑到
了对指数的统计误差和系统误差的估计（通常⽐直接幂律拟合要⼤得多）。最后，这些修正在临界点附近很⼩，对于描述周围相中的前期涨落越来越重要。确实，这⾥有⼈想要通过对Ising临界点使⽤解析和奇异修正，⽤相图描绘（具有挑战性的）液体特性。
仔细测量与微观相⽐⼤、与系统相⽐⼩的系统的中等尺⼨特征，⼈们能够找到正确的幂律吗？如果缩放函数本身是奇异的——当辐射⻆趋于零时，它趋于零或者⽆穷⼤，那就不⾏。在我们对三维随机场Ising模型的研究中[9]，这⼏乎发⽣了（⻅图1）。
我们测量了雪崩的覆盖率，这⾥r = (R-Rc)是到临界紊乱（critical disorder）的距离。我们发现了极好的尺度坍缩，但是A似乎随着Sσr趋于0⽽线性地趋于0（图1b）——给出了⼀个有效幂律公式（图1a），它与从尺度坍缩中提取的重整化群指数不⼀致。最后，我们（当时）使⽤了⼗亿位点模拟，发现A⼏乎消失了——它从很⼩的初值增加了10倍。
奇异缩放函数同样会在危险⽆关变量的例⼦中出现，如⽅程3中的u这样的量，它会在缩放（⽆关变量）中消失，但当它消失时，⼀个物理性质的缩放函数会发散。这发⽣在⼀些玻璃系统中，在⻓尺度情况下，冻结不再是通常粒⼦间的温度和耦合的竞争，⽽是随机⽆序和耦合之间的竞争。温度能够使其跳跃过障碍，允许系统弛豫（relax）。因为在玻璃化过程中，温度是⽆关变量，弛豫时间（及其缩放函数）随着系统通过相变冷却⽽发散。
对于普适的缩放函数，还有许多更吸引⼈的含义和⽤途，当然还有相关的警告：拟合幂律可能会让你误⼊歧途。许多系统表现出交叉（Crossover）的特征，即随着标度的增⼤，从⼀个幂律平稳过渡到另⼀个幂律——通常是在有限温度下观察到的量⼦临界点（quantum critical point），但同样能够在例如磁雪崩[10]、断裂（fracture）和脱钉相变[7]中发⽣。
其它系统表现出更加复杂的缩放⾏为，因为它们的重整化群流本质上是⾮线性的[8]。这⾮常常⻅，例如，在相变临界点，所有的⼆维、四维系统都有对数、指数或必需的奇异点。
因此，关于相信幂律分布拟合的陷阱不应该被视为障碍，⽽是⼀个机会。通过使⽤普适的缩放函数从数据中提取尽可能多的信息，这极具挑战，但在智⼒以及科学上都是极富有成效的。