我们⽣活在平直的三维欧⽒空间，时间空间仿佛均匀展开。但你有没有想过，⽣活在双曲空间，⽐如庞加莱圆盘上，会是怎样奇妙的体验？事实上，我们的意识、记忆或许是在双曲空间运转，双曲空间是复杂⽹络背后的⼏何，爱因斯坦构建狭义相对论的闵可夫斯基时空也是双曲⾯模型。双曲空间到底是什么样？为何吸引黎曼、庞加莱、克莱因、莫⽐乌斯等数学巨擘探索？今天，我们共同开启⼀场双曲空间的跨学科之旅。
难以想象，如果没有画家埃舍尔，多少⼈将被艰深的双曲⼏何拒之⻔外；幸运的是，埃舍尔的系列作品已成为最佳向导，指引我们通向双曲空间。圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅⽊刻：前者的主要形象是各⾊的⻥，它们有⽩⾊的背脊线和不成⽐例的⼤眼睛，紧凑排布在⼀个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，⿊⽩对⽴，排列在同样的圆盘上。
好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔⼒的，它使所有的⻥都⼀样⼤（天使和恶魔也是如此）。
圆盘上的每条⻥都⼀样⼤，之所以远离中⼼的⻥看起来⼩，并不是⻥真的变⼩，只是因为圆盘在此处“膨胀”了。事实上，圆盘空间是指数级增⻓的：当半径为r时，圆盘的⾯积将增⻓为——圆盘⾯积=单条⻥的⾯积×⻥的数量，⽽⻥的数量在指数增⻓——我们熟悉的⾯积公式不再适⽤。如果来到圆盘边缘，每⼀条⻥会显得⽆限⼩，此时圆盘装下了整个宇宙。
三条⾸尾相接的线段仍然构成三⻆形，但三⻆形的内⻆和不再是180度，⽽是⼩于180度。有多⼩呢，答案是可以趋于0度！在圆极限IV上，每位⽩⾊天使邻接三个⿊⾊恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中⼼到边缘层层展开。在圆极限III中，⻥的脊线交织，也形成类似的结构。这是不是让你想到了⽆穷分叉的树结构？树结构有⼀个根节点，从根节点往外层层分叉，节点数量随着层数指数增⻓。
空间的⼤⼩可以⽤多边形铺贴（在数学中叫做镶嵌）来⽐较。曲率如何影响空间的⼤⼩呢？来看⼀个例⼦：下图有三种曲⾯，左边的是平⾯，⽤正六边形可以均匀铺满；中间的是⾜球形（近似球⾯），铺满这样的球⾯要⽤⼀些正五边形（⿊⾊）来替代正六边形，从⽽“节约”了⼀些⾯积；⽽右图中需要填充⼀些正七边形（⿊⾊）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因⽽增⼤了⼀些⾯积。
著名的双曲游戏HyperRogue就借助这个特性设计场景，可想⽽知，⾯对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。尽管庞加莱圆盘已经⼴为⼈知，但还远⾮双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的⾮欧⼏何史。双曲空间是具有负常数曲率的空间。⾮同寻常的双曲⼏何，如最短路径是曲线，三⻆形内⻆和⼩于180度等，都是负曲率引起的。
圆盘和树的区别仅在于：树结构的分⽀互不相通——如果你⾛错⼀个分⽀就必须先返回到上⼀层，再去探寻另⼀条分⽀；⽽在圆盘上，你既可以按层级⾏⾛（沿着分⽀），也可以径直⾛过去，路线更加灵活，但距离是相近的。
⾄此我们已经初识了圆盘模型，它是指数增⻓的空间，⼜可以看作连续的树结构，与欧式空间⼤不相同——感谢埃舍尔的指引，现在可以正式介绍这个“魔⼒”圆盘了，它全名叫⻉尔特拉⽶-庞加莱圆盘，也常简称庞加莱圆盘，是双曲空间的⼀种模型。
身在双曲空间会有何种体验呢？举个例⼦，在庞加莱圆盘上，当⼀个物体离开你时，它将很快缩⼩就像突然消失；⽽当它靠近你时，⼜会很快变⼤就像突然闯⼊——这是⼀个飘忽⽽来飘忽⽽去的世界。
如果你能读到这⾥，⼤概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于⼏何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启⼀场与双曲空间有关的跨学科旅⾏。限于笔者学识，这场旅⾏只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引⽟之效。
研究者认为⼤脑在致幻药物作⽤下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛⼤学迷幻科学俱乐部的⼀项严肃研究，更新的研究进展让我们拭⽬以待。爱因斯坦构建狭义相对论所⽤的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲⾯模型。狭义相对论中，常⽤光锥来图示化时空，每⼀点表示⼀个时空事件。
双曲⼏何与复杂⽹络⽹络科学创⽴之初，以其发现的幂律分布、⼩世界特性（六度空间）⽽闻名，但是为什么复杂⽹络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂⽹络的种种特性意味着它不是随机⽣成的，⽽是有内在的⼏何结构（尤其是层级性），⽽双曲空间正是复杂⽹络背后的⼏何。在⽣成⽹络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产⽣连接，那么⽹络的度分布、⼩世界等特性都可以⾃然的推导出来。
当前双曲⼏何与神经⽹络深度交叉，已经成为⽹络科学和机器学习领域的热点问题。
双曲贴现，指的是⼈们在评估未来的收益时，倾向于在近期使⽤更低的折现率，在远期使⽤更⾼的折现率——⼈们常常宁可要眼前较⼩的利益，也不要⽇后较多的报酬。在经济学中，资⾦由于其时间价值产⽣复利，并按指数形式增⻓。但由于⼈类的认知特点（如对等待的不耐⼼），在与预期有关的实际决策中⼈们中不是按指数效应思考的，⾮理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。
实际上，双曲空间已经在数据科学领域⼤显身⼿，例如知识图谱的表示⽅法中，就有⼀类运⽤双曲空间来表示知识的抽象层级；在复杂⽹络中将节点嵌⼊双曲空间，可以完成连边预测等任务；基于双曲⼏何的⽹络导航也是⼀种⾼效的导航算法。由于⼈类知识体系有着显著的层级特征，⽤双曲空间相关算法处理知识图谱和其他信息的优势将会得到更多验证。
双曲造型是科学和艺术融合的⼀个典范：双曲⼏何为艺术家提供了源源不断的素材和灵感，艺术作品则使双曲⼏何不只躺在数学家的⼿稿中，⽽是⼴泛影响了⼈类体验。本⽂在⾏⽂中穿插了⼀些艺术作品，但仅是冰⼭⼀⻆，在建筑、服饰、绘画、游戏、设计等艺术⻔类中都有鲜明的存在。
在双曲旅⾏即将结束之际，我们来回顾本⽂内容，列出如下的⽂章结构——这不过是⼀个普通的思维导图，但当读者读罢此⽂，应当意识到这同时也是树结构，并且通向⼀个⼴阔的双曲空间。