保罗·列维的“黑天鹅”：离群值的物理学
David D. Nolte
返朴
2023-08-14 09:25:15
转自公众号：集智俱乐部
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导起概率分布，高斯分布和泊松分布似乎是我们知道的一切，然而，列维分布实际上在自然现象中十分常见。一种被称为“列维飞行”（Lévy flight）的随机游走，可以很好地模拟动物觅食、股票价格波动、地震和湍流等现象。
黑天鹅是罗马诗人尤韦纳尔（Juvenal）发明的一种神兽，用来比喻稀少到只能想象的事物，他的原文是“土地上的稀有鸟类，非常像黑天鹅”。可以想象，1697年荷兰探险家威廉·德·弗拉明（Willem de Vlamingh）第一次在澳大利亚看到黑天鹅时的震惊。这个比喻演变成一种新的用法，指当一个广泛持有的信念（黑天鹅的不可能性）被新的观察结果驳倒。
黑天鹅是指在一系列数据点中出现的异常测量。
在黑天鹅事件发生前，数据点表现正常，遵循我们所期望的常规统计，可能是高斯分布，也可能是主导大多数变量现象的其他指数形式。但黑天鹅出现了，它的数值出乎意料，与其他所有测量结果都不一样，以至于人们常常认为它是错误的，甚至可能将其丢弃，因为它破坏了原本不错的统计数据，这一数据点以不可忽略的方式扭曲了平均值和标准差。
对于这种令人心烦的事件，人们的反应是获取更多数据，让平均值再次稳定下来……直到另一个黑天鹅出现，再次偏离平均值。然而，这种异常值（outlier）往往不是虚假的测量结果，却是测量过程的自然组成部分，在不影响研究统计完整性的情况下，不应该也不可能将其剔除。
2007年，作家塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）在其极具影响力的著作《黑天鹅：极不可能事件的影响》（The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable）中指出，无论是商业、新技术开发、选举还是金融市场行为，离群值现象几乎是现代生活方方面面的核心部分。
华尔街的完美对冲费舍尔·布莱克（1938-1995年）是博士生导师的噩梦。
他1959年本科毕业于哈佛大学物理系，但在研究生阶段转学数学，后来又转学计算机，再后来又转学人工智能，之后他因严重缺乏专注力而被哈佛大学研究生项目开除。于是，他加入兰德公司，在那里他有时间发挥自己的想法，最终找到麻省理工学院的马文·明斯基（Marvin Minsky），在后者的帮助指导下，写出一片可接受的论文并被允许提交给哈佛大学应用数学博士项目。之后，他进入金融市场工作。
他对金融理论的著名贡献是1973年与拜伦·斯科尔斯合著的论文《期权和公司负债的定价》。套期保值是华尔街的古老传统，指经纪人卖出期权（在以后以给定的价格购买股票），假定股票会贬值（卖空），然后买入一定数量相同资产的股票（买多），作为价格上涨的保险。如果经纪人在足够多的多头股票和足够多的空头期权之间取得平衡，那么投资组合的价值就不会受到标的资产价值每日波动的影响。
这种投资组合就是叫做金融衍生产品（derivative）的一种金融工具。之所以叫衍生产品，是因为投资组合的价值来源于相关资产价值，其面临的挑战，是在到期前随时找到其“真实”价值。如果经纪人知道衍生品的“真实”价值，那么买卖衍生品就不会有风险。要做到无风险，衍生品的价值就必须不受波动影响。这乍看起来是个难题，因为波动是随机的，无法预测。
但实际上，解决方法恰恰依赖于这种随机性条件，如果股票价格的随机波动等同于平均收益率上叠加随机游走，那么就可以肆无忌惮地构建完美对冲。
稳定分布：黑天鹅是常态当保罗·列维（Paul Lévy）（1886-1971年）于1919年应邀在巴黎综合理工学院发表三场关于随机变量的演讲时，概率论的数学理论还只是一种原理和证明的松散集合。
从这些讲座中产生的，是他一生对这一领域的研究，如今这一领域已发展成为数学的主要分支之一，尽管二战期间他在维希法国的反犹主义环境中艰难前行，但在职业生涯中成就卓著，硕果累累。他的论文导师是著名的雅克·哈达玛（Jacques Hadamard），他的学生之一是著名的贝努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）。
列维撰写了多本具有影响力的教科书，奠定了概率论的基础，他的名字几乎成为这一领域的代名词，其中一本著作是关于随机变量的加法理论，他在书中扩展了稳定分布（stable distribution）的概念。
概率论中，如果来自一个分布的两个独立随机变量之和具有相同的分布，那么这类分布就被称为稳定分布。正态分布（高斯分布）显然具有这一特性，因为两个正态分布的独立变量之和也是正态分布，方差和均值可能不同，但函数形式仍然是高斯分布。
列维分布最重要的特点是在大数值时具有幂律尾部。例如，α=1时列维分布的特例是正值x的柯西分布，其公式为在大多数情况下会随着x-(α+1)而下降。
柯西分布是可归一化的（概率积分为一），其特征尺度由γ设定，但它的均值是发散的，违反了中心极限定理。对于满足中心极限定理的分布，增加分布的样本数可使均值收敛于一个有限值，然而，对于柯西分布来说，增加样本数会增加出现黑天鹅的几率，黑天鹅会使均值偏斜，在样本数无限多的情况下，均值会发散到无穷大。这就是为什么说柯西分布有一个“沉重的尾部”，它包含罕见但振幅较大的离群事件，这些事件会不断移动平均值。
下图显示了在α=1（柯西分布）和α=2（高斯分布）之间的列维稳定概率分布函数示例。即使在非常接近高斯分布的α=1.99的情况下，也可以看到严重的重尾现象。图中显示了α=1、α=1.4和α=2的二维列维随机游走的例子。在高斯分布的情况下，均方位移表现良好且有限，然而，所有其他情况下，均方位移都是发散的，这是因为当α接近1时，路径长度变大的可能性增大。
列维随机游走
随机游走是统计物理学的基石之一，也是布朗运动的基础。爱因斯坦利用布朗运动推导出著名的扩散统计力学方程，证明分子物质的存在；让·佩林（Jean Perrin）因其对爱因斯坦理论的实验证明而获得诺贝尔奖；朗之万（Paul Langevin）利用布朗运动将随机微分方程引入统计物理学；而列维则利用布朗运动来说明数学概率论的应用，并写下了他最后一本颇具影响力的著作。
对随机游走的大多数研究都假定步长或速率为高斯或泊松统计，但当步长取自列维分布时，就会出现一种特殊形式的随机游走。这就是列维随机游走，贝努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）（列维的学生）将其命名为“列维飞行”（Lévy Flight），并对其分形特征进行研究。
列维随机游走最初是作为理想数学模型来研究的，但近年来对其有许多发现，在动物觅食行为中观察到列维随机游走，甚至在细菌的奔跑和翻滚行为中也观察到列维随机游走，据推测，这种觅食策略能让动物对随机分布的食物来源进行最佳采样。有证据表明，分子在细胞内运输中存在列维行走，这可能源于拥挤的细胞内邻域内的随机运动。
人们还观察到一种中间状态，即细胞内的细胞器和囊泡在沿着细胞骨架附着、迁移和脱离驱动它们的分子马达时，可能具有列维行走的特征。