探究宇宙中的秩序和混沌一直是科学研究的核心命题。陶哲轩教授的这篇洞察性文章引领我们进入普适的世界——一个展现了如何从错综复杂的微观动态系统中抽象出简明的宏观规律的奇妙领域。从统计学的经典规律到物理学中的相变现象，从自然数序列的神秘规律到量子力学的精确预测，普适性作为一种被广泛记录和验证的模式在各种不同尺度和领域中展现了其惊人的一致性。
然而，尽管这些规律已被实证学科反复确认，但对于普适性的严格数学基础仍存在着诸多未知之谜。本文通过综合不同领域中的具体案例和研究成果，展示了当前科学界对这些宏观规律涌现机理的理解，并指出了这一研究领域所面临的挑战与前沿问题。
大数定律是数学和自然界中最简单、最容易理解的普适性规律之一，但它绝不是唯一的。
几十年来，人们发现了许多类似的普适性规律，它们适用于控制广泛类型的复杂系统的行为，无论系统的组成部分是什么，它们如何相互作用。对于大数定律，这一普适性现象的数学基础是很好理解的，并且在概率和统计学的本科课程中经常教授。然而，对于许多其他普适性规律，我们的数学理解还不够完善。探寻复杂系统中频繁出现普适性规律的原因，是数学研究中一个非常活跃的方向。
在大多数情况下，我们离这个问题的满意答案还很远，但正如我所讨论的，我们已经取得了一些令人鼓舞的进展。
中心极限定理是另一个最基本的普适性规律的例子。粗略地说，这个定理断言，如果一个统计量是由许多独立且随机波动的组成部分组合而成，且没有一个个组成部分对整体有决定性影响，那么这个统计量将近似地按照一种称为正态分布（或高斯分布）的规律分布，或者更通俗地称为钟形曲线。这个规律是普遍的，因为无论个别成分如何波动，或者成分有多少个，它都成立（尽管成分数量越多，规律的准确度越高）。
相变与重整化群是目前为止，我讨论了个体统计量的普适性规律：当多个小的独立因素复合时，就会产生这些复杂的数值量。然而，除了数值统计之外，更加复杂的对象也遵循普适性规律。以物理和化学中相变引起的复杂形状和结构为例。正如我们在高中科学课上所学的，物质存在不同状态，包括三种经典状态——固态、液态和气态，还有一些奇异状态，比如等离子体或超流体。
例如铁这样的铁磁性材料，也存在磁化和非磁化的状态；其他材料可能在某些温度下是导体，在另一些温度下则是绝缘体。材料的状态取决于许多因素，尤其是温度，有时还包括压力。在固定压力下，大部分材料倾向于在一个温度区间内呈现某种状态，在另一个区间内呈现另一种状态。但当材料的温度达到或非常接近这两个区间的分界线时，便会发生有趣的相变现象。
此时的材料并未完全处于其中一种状态，往往会分裂成为美丽的分形形状，称为簇，每个簇代表两种状态中的一种。
离散谱、随机矩阵模型、黎曼猜想在我们对普适性规律的探索即将结束之际，我想考虑一个更贴近我研究领域的现象示例。在此，我们关注的不是单一的数值统计，也不是形状，而是一个离散谱：这是沿直线分布的一系列点（或数值、频率、能级）。
最常见的离散谱例子或许是当地广播电台发射的无线电频率；它们构成了电磁光谱中无线电范围内的一个频率序列，人们可以通过旋转收音机的调频钮来选择接收。这些频率不是等距排列的，但为了减少相互干扰，通常会努力确保各个广播电台的频率之间有一定的分隔。
普适性的失效与复杂性的出现数学和自然界还有许多其他普适性规律；我所提到的仅仅是多年来人们在动力系统、量子场论等不同领域发现的例子中的一小部分。
比如，很多物理学中的宏观规律，像热力学定律或流体运动方程，本质上是普遍的，这使得被研究材料或流体的微观结构几乎无关紧要，除了通过一些关键性参数来描述，例如粘度、可压缩性或熵。然而，普适性定律确实存在一定的局限。以中心极限定理为例，它预测了任何由众多小的、独立因素组合而成的数量都将趋向钟形曲线分布。但如果不满足该定理所需的前提假设，这个定律就可能不适用。
比如，所有成年人（男性和女性）的身高分布并不符合标准的钟形曲线，因为性别这一单一因素对身高的影响巨大，无法被其他所有环境和遗传因素平衡掉。