几何学和物理学互相推动，共同发展。当卡拉比-丘流形被发现后，弦论家们如获至宝，他们终于找到了解释万物的具体的几何模型。但是，它需要十个维度。几何学与物理学相关并不奇怪——毕竟，空间是物理学发生的舞台。然而，实际上空间的几何结构对物理学的重要程度，以及我们宇宙的几何结构的奇特程度，远超过我们想像。
早在1915年，当阿尔伯特·爱因斯坦提出他的广义相对论时，就初步暗示了空间不仅仅是一个物理背景。爱因斯坦构建了一个四维时空，这个时空由我们熟悉的三个空间维度和一个时间维度构成。他的理论革命性地提出，引力不是一种在时空中穿行的无形的力，而是由大质量物体造成的时空弯曲。
爱因斯坦的这种将空间、时间、物质和引力统一起来的观点是全新的——物理学家杨振宁将其描述为一种“纯粹的创造”。然而，爱因斯坦用来描述时空曲率的数学并不是新创造的。这一思想可以追溯到19世纪，当时数学家卡尔·弗里德里希·高斯以及他杰出的学生伯恩哈德·黎曼提出了从内部测量物体曲率的方法：他们不需要再参照物体所在的更大空间。这种内在的曲率概念正是爱因斯坦所需要的。
当丘成桐第一次了解广义相对论时，他意识到广义相对论提出了一个有趣的理论问题：是否存在一个不包含任何物质的时空——一个真空——但其中仍然存在引力？我们生活的时空并不是广义相对论唯一适用的时空。爱因斯坦场方程，即描述广义相对论的方程，也允许其他解，例如一个既没有物质也没有引力的时空，在这样的时空中，什么都不会发生。但问题是，一个仍然具有曲率和引力的真空时空是否存在？
丘成桐后来意识到，数学家尤金尼奥·卡拉比在20世纪50年代就已经从几何学的角度提出了这个问题。卡拉比对物体几何形状的精确特征，如大小和角度，与其拓扑结构之间的相互作用感兴趣。拓扑对精细结构不敏感，只关注物体的整体轮廓。例如，一个球和一个泄了气的足球在几何上有很大不同，但它们在拓扑上是相同的，因为这两者不需要任何撕裂或切割，就可以从一个物体变换成另一个物体。
卡拉比将陈省身的问题反过来考虑：如果有一个紧致流形，其第一陈类为零，那么能否将其变形为一个在所有点上里奇曲率都为零的几何形状？换句话说，卡拉比想要知道，某种特定的拓扑结构是否一定存在相应的几何形状。然而，卡拉比并不是研究一般的流形，而是专注于所谓的凯勒流形。
这些流形处理起来更简单，因为它们偏离欧几里得空间很小，它们也被称为复流形，这意味着在绘制这些流形的映射时，角度会被保留，流形也展现出一定的局部对称性。
当丘成桐在20世纪70年代初开始研究这个问题时，他主要是出于对几何学的兴趣，不过，正如他告诉我们的那样，“我一直在想这个问题对物理学也会很有趣：构建一个封闭的宇宙（紧致流形），它没有物质（因为里奇曲率为零），但仍然有引力（由于其拓扑结构导致的曲率）。但这样的结构的存在对几何学也意义重大：卡拉比的猜想为理解里奇曲率提供了一个最清晰的途径。”
1982年，丘成桐因解决了卡拉比猜想而获得菲尔兹奖，这是数学界最高的荣誉，这一突破对几何学以及其他领域产生了深远的影响。直到后来他才知道，卡拉比-丘流形正是某些物理学家一直在寻找的东西。他回忆说：“有一天（1984年），我和妻子在圣地亚哥，眺望美丽的海洋。突然电话响了，是我的朋友安德鲁·斯特罗明格和加里·霍洛维茨打来的。
他们很兴奋，因为弦论家们正在构建宇宙的模型，需要知道卡拉比-丘流形是否真的存在。我欣然告诉他们，这些流形确实存在。”
弦论试图成为一种“万物理论”，用以解释宇宙中的所有物理现象。这样的理论曾经是，现在仍然是物理学的圣杯，因为现有的两个主要理论——广义相对论（描述宏观世界）和量子场论（描述亚原子尺度世界）——相互矛盾。弦论通过提出最小的物质和能量单位不是点状粒子，而是一根根微小的弦，从而解决了数学上的矛盾。这些弦可以振动，就像吉他弦可以振动一样，不同的振动类型对应着我们观察到的基本粒子和物理力。
在20世纪80年代初，弦论还处于起步阶段。它面临的一个主要问题是，为了理论的自洽性，它需要十个维度。粒子和力被认为来自于弦振动的所有不同方式。如果维度少于十个，那么就不足以产生所有观察到的物理现象。另一方面，如果维度超过十个，弦论可能会产生一些荒谬的结果。因此，精确的十个维度是必要的。但问题是我们为什么只能感知到其中的四个维度，即三个空间维度和一个时间维度？
卡拉比-丘流形的另一个横截面。
弦论声称时空中的每个点实际上都是一个具有卡拉比-丘流形结构的微小六维世界。弦论对这一谜题的回答是，六个额外的维度被紧紧地卷曲在一个极其微小的空间中，这个空间小到我们无法直接感知。丘成桐解释说：“在我们所观察到的四维时空中的每一个点，实际上都存在着一个微小的六维空间。”这些微小的世界太小了，以至于我们无法察觉它们的存在。那么，什么样的六维几何结构能够容纳这样一个隐藏的世界，并满足弦论的其他要求呢？
答案已经很明显了：它必须是一个六维的卡拉比-丘流形。丘成桐补充道：“卡拉比-丘流形最终为弦理论提供了一个具体的几何模型。”
伴随着卡拉比-丘流形的发现和其他重大进展，1984年成了弦论发展史上具有里程碑意义的一年。但故事并没有就此结束。1986年，弦论遭受了一个小挫折，当时发现弦论需要卡拉比-丘流形的一个轻微修正版本，其里奇曲率不是零，而是非常接近零。
更糟糕的是，有许多不同的六维卡拉比-丘流形可能符合弦论的要求，而且没有人能够计算出哪个是“正确”的。所有这些都某种程度上削弱了卡拉比-丘流形在物理学中的地位。然而，当人们发现成对的不同的卡拉比-丘流形可以产生具有相同物理学的理论宇宙时，另一个推动力出现了。这种流形对激发了新的兴趣，并产生了一种新的对称性概念，称为镜像对称。
镜像对称的确切物理意义仍然是一个谜，但是，正如丘成桐所说，它导致了“对卡拉比-丘流形的惊人的新理解。并激发了许多丰富的数学成果，这些成果完全是由弦论的直觉所驱动的。”特别是，新的镜像对称概念解决了一个几何分支中几乎被遗忘的长达一个世纪的问题。我们不准备在这里讨论这个问题，只说它涉及到计算特定几何空间中的曲线的数量。镜像对称提供了获得答案需要的公式，后来丘成桐和同事们证明了其正确性。
今天，弦论仍然远未完善。有许多物理量它还无法描述。而且它还没有，目前也不能在实验室中进行测试。然而，丘成桐相信，弦论纯粹的数学一致性意味着它不会是一个误区。“数学家们已经能够证明由弦理论的物理直觉所激发的公式。弦论对数学的许多其他惊人贡献也是不可忽视的。因为弦论的存在，许多表面上不同的数学领域已经以一种平滑但完全意想不到的方式融合在一起。这意味着弦论中一定有一些真实的成分。
它最终会引导出一个关于物质的基本理论吗？现在说还为时过早，但我们相信它提供的直觉中一定有一些真理。”