用数学和物理学从本质上描述我们的大脑构造可能是一项不可能完成的任务，那么我们真的无法了解大脑吗？在神经科学方面，曾经轰动全球的“蓝脑计划”虽然至今未能复制大脑，但科学家重建了部分大鼠的模型，而数学家发现，拓扑学在了解神经元组成的网络方面，起到了神奇的作用。
2021年6月，欧洲数学大会（ECM）在斯洛文尼亚召开。在开幕第一天的最后，Betül Tanbay（土耳其著名数学家）向大家介绍了洛桑联邦理工学院 (EPFL) Kathryn Hess 教授的讲座：“通向复杂大脑的神秘数学之旅”。而当天的第一场演讲则是关于心脏的数学模型。这真可谓是用数学的方式紧紧抓住了听众们的“心灵”。
我们的大脑是由数百亿个神经元，以及用来连接神经元的数万亿个突触组成的网络，其复杂程度我们根本无法想象。如果再考虑神经元的形状、大小、朝向和一些其他因素，如大脑中的各层血管，情况还会更加复杂。Kathryn Hess 谈道，“为了避免直接处理如此复杂的对象，我们使用了一种数学家们都很熟悉的技巧。”这个技巧叫作降维（dimension reduction），也就是说，选取具有代表性的简化信息。
Hess通过降维的方法，把大脑中如一团乱麻的神经元，表示为一幅网络图。每个神经元，暂且不论其形状与大小，全都表示为一个节点。节点之间的边则表示连接神经元的突触，不过即便两点之间有很多突触，也只表示为一条边（在真实的大脑中，这种冗余的突触数量被认为很重要）。由于信息沿突触传递的方向是一定的（从一个神经元的轴突到另一个神经元的树突），所以这些边都是有向的——由箭头表示信息传递的方向。
两节点间有两条相反的边也是有可能存在的，就是指有相反方向的两个突触连接两个神经元。这个有向网络提供了大脑功能的简化结构。
Hess 与“蓝脑计划（Blue Brain Project）”进行合作。“（仿真）人脑模型的规模远远超过了我们力所能及，”Hess 说道，“毕竟有数百亿个神经元，数据量是无法想象的庞大。”所以为了重建大脑的数学模型，“蓝脑计划”研究了比人类小得多的大鼠的大脑。不过 Hess 表示，即便鼠脑已经很小了，他们面对的仍然是“神经元网络的狂野纠缠”。
在过去的十年中，“蓝脑计划”重建了鼠脑中的躯体感觉新皮质（somatosensory neocortex）——这就像是从鼠脑表面深入到灰质提取出来一份岩心样本。大脑中负责触觉的部分组成一个微型电路，这里包括了大约30000个神经元以及它们之间的800万个连接。重建的过程，首先是在微型电路的柱状区域中安放不同的“神经元”，来模拟实验室中观察到的种类和数量。
接下来这些神经元将按照邻近关系以及我们对鼠脑已有的信息来连接。
拓扑学是数学中研究形状分类的学科。如果某个图形可以通过弯曲或拉伸变成另一个图形，只要变化过程中没有切断或撕裂，我们就认为两个图形相同。最著名的例子就是甜甜圈和咖啡杯，它们从拓扑意义上来说是一样的。如果有一个橡皮泥做的咖啡杯，那么你只要把杯身一点点地往杯把的那边挤，就可以把它连续地变成甜甜圈。
在这个变换过程中，咖啡杯把手的那个洞始终没有变，只是变成了甜甜圈的那个洞——洞是不可能消失的。拓扑学对于像洞一样，在连续变换下不变的量，非常感兴趣。
拓扑学提供了形状和连接性质的数学语言，它还可以用局部约束来描述整体结构。“拓扑学是绝妙的数学过滤器，”Hess 讲解道，拓扑可以用来检测重建电路的结构以及连接性质，帮助人们理清各部分在大脑功能中扮演的角色。
Hess 和她的同事们计算了“蓝脑计划”的那42个不同微型电路中，不同维度的腔的数量。计算结果表明，这项拓扑参数忠实地反映了生物学事实。有向单纯形和腔这两个数量参数，还可以用来分析神经网络中传递的电活动的波动。如果一条边对应的一个神经元正在触发另一个，则我们称这条边是激活的。研究者们可以用有生物学意义的时间步长，对每个步长内激活的单纯形和腔的数量进行计数，以此来观察活动的变化。
Hess 在她的演讲开头时说道，她职业生涯的前十年都致力于最纯粹的数学——拓扑、同调论和范畴论。现在她正在用同样纯粹的数学来研究大脑——正是大脑让我们有能力创造数学的奇思妙想。这又一次证明了数学在描述我们内在世界和外部世界方面都同样有效。