追求完整的⽆理数：挑战⼿机计算器的极限
⽆理数是不能表示为两个整数之⽐的数，似乎有些“不讲道理”。很多⽆理数可以通过基础运算变成有理数或整数，⽽有些则⽆论怎样努⼒都不能变“完整”。本⽂介绍⼀个⽆理数，它本身即为三个⽆理数的组合，研究⼈员通过⼀个复杂的公式运算也只能得到它的近似值。但更重要的是，我们可以通过⼿机计算器来验证！我们都知道，⽆理数“不讲理”。
按整数标准，它们⼤多身形残缺，但是它们中间有很多数很有理想，总是想追求完整：有的是靠⾃⼰，有的是靠同志。⽐如说，是⽆理数，可能也是⽆理数，但是就是整数了，⽽且它很“2”。再⽐如说，⾃然常数e和圆周率π都是⽆理数，但是只需要⼀个虚数的帮助，它们就可以变成整数：e^iπ=-1；结果是个负整数，它还不够“2”，否则就会有e^2iπ=1。当然，不是所有的努⼒都能够功德完满。
⾃然常数e、圆周率π和163的平⽅根（），它们也努⼒过追求完整，可惜就差了那么⼀点点，很⼩的⼀点点。多⼩的⼀点点呢？它跟整数的差别在于⼩数点后第13位，也就是说，⼩数点后经过了12个9，才变成了2。为什么这样呢？这⾥⾯有⼀套很复杂的数学理论，我也看不懂，但是可以引⽤⼀个公式：它是否正确，我们可以⽤计算器检验⼀下。⼿机的计算器很强⼤，特别是它的科学计算器模式。
例如它可以轻松地把圆周率π的值算到⼩数点后⼀百位。为了便于⼤家亲⾃检验，我会介绍详细的操作过程。⾸先，打开⼿机⾃带的计算器（我的⼿机是华为P30），它有两个模式——竖版的“标准计算器”和横版的“科学计算器”，可以任意地选择切换。进⼊“科学计算器”，就⾃动切换到横版，上⽅是两⾏的显示屏，下⽅是键盘。按“π”键，π就出现在显示屏的第⼀⾏，同时在第⼆⾏显示出它的数值，“3.1415...1971”。
这⼀⾏可以显示42个数字或字符。通过触屏操作，我们可以对数字进⾏复制粘贴操作。现在，我们来验证⼿机⾃带的π究竟算到了多少位。⽤π减去刚才得到的42位数字，即“π-3.1415…1971”。按键盘的减号键“-”，显示屏的第⼀⾏就变为“π-”。⽤⼿指按第⼀⾏，会出现⼀个阴影区覆盖了所有的数字，同时出现两个键“复制”和“粘贴”；选择“粘贴”（注意，要保证光标位于这⼀⾏的最右边），就可以得到结果。
继续同样的操作，可以得到更多的位数。从菜单⾥选择“历史纪录”，可以找到以前做的计算，⽐如说我刚做的把π算到100位。
算得对不对呢，我从⽹上找了π值⼩数点后200位，如下：π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 。
跟上⾯的图⽚对照⼀下就可以看到，⼿机计算器的结果有115位⼩数，全部正确。使⽤这⼀⽅法显然还可以算更多位，但是究竟能算多少位，我没有试验，毕竟⽤⼿机操作复制和粘贴太麻烦了。值得⼀提的是，这个表现⽐我的PC电脑系统附带的计算器厉害。利⽤类似的操作，PC系统的计算器可以得到“π= 3.14...... 6939931148 ”（第41-50位应该是6939937510），从⼩数点后第47位开始就错了。
电脑计算器计算π-3.141…2795的值，在第47位时错误。⽹上的π值就⼀定正确吗？它可能是正确的，也有可能⼿机计算器特地保留了π的很多位数，也许藏在哪⾥备⽤呢。接下来，让我们算算——想必这个数是不会预存的。结果发现，两个计算器的表现还是不⼀样。
仔细观察可以看出，两部计算器的第⼀次计算结果应是相同的：计算机的结果最后的4位数字是9871；⽽⼿机对应的位置是9870，其后⾯还有9个数字“892347382”。当⽤电脑计算器做减法后，得到的结果是“-1.076524...”，前⾯还有⼀个负号。考虑到负号，这两个计算结果⼀直到我们⼿机显示的倒数第三位，也就是3（⼿机计算）和4（电脑计算），这⾥确实有差别。
我觉得，相⽐于电脑，我们还是相信⼿机好了，毕竟它给出的位数更多，⽽且计算的π值也跟⽹上的结果⼀样。最后，我们算⼀算。先把前⾯的公式再复习⼀遍：我⽤⼿机⾃带的科学计算器做了⼏个不同的计算，分别是直接计算的值（⽤前⽂的⽅法）和⽤公式近似计算，结果如下：①直接计算，得到18位整数和23位⼩数：最开始的12个⼩数都是9，第13个是2。②计算公式的⼀级近似，也就是第⼀项的贡献。
③计算公式的⼆级近似，也就是前两项的贡献。④计算公式的三级近似，也就是前三项的贡献。⑤第⼆次直接计算，这次算的是减去18位整数和⼩数点后的12个9。⑥第三次直接计算，这次算的是减去第⼀次直接计算得到的结果，也就是18位整数和⼩数点后的23位⼩数。⑦第四次直接计算，减去第⼀次直接计算和第三次直接计算的结果，得到了⼩数点以后的99位⼩数。
简单分析可以得出：直接计算（①）最简单也最粗糙，但是已经得到了e、π和这三个⽆理数合作追求完整的全过程；公式没有告诉整数是多少（这个很容易算的），但是给出了更多更精确的⼩数位（②、③、④）；计算器⽐这个公式的前三项还要强⼤（⑤和⑥），甚⾄能够计算到⼩数点后99位（⑦）。⽤两种计算的结果（⽤公式计算和直接计算）符合得很好，因此我们相信⼿机计算的结果是正确的。
我也⽤电脑的计算器算过，虽然也能⻅证它们仨追求完整的过程，但是在⼩数点后⼏⼗的地⽅，仍然给出了不同的结果。最后再谈谈这个公式。⾮常接近整数这件事，在⼀些讲计算数学的书⾥提到过，有时候⽤作例⼦说明计算的精度和稳定性。然⽽，关于它为什么这么接近整数，讲得就很少了。⽽且基本上都是先说，这个道理给普通⼈是讲不明⽩的，因为要涉及椭圆曲线、模形式以及其他⼀些理论。
我找到了⼀篇介绍性的⽂章[1]，看得⼀头雾⽔，但也不是没有收获。除了找到前⾯⽤的那个公式以外，我还发现——可能⼤家也都知道——数学家的数学虽然很好，但是他们算术不⼀定强，经常会搞错个符号之类的。正如⽂中所示，作者在欢呼成功之前的最后两⾏公式中“196884”前⾯的符号不⼀样，肯定有⼀个是错的——⽽且我肯定，是最后那⾏⾥的错了。“⼤⾏不拘细谨，⼤礼不辞⼩让。
”连数学家都不免犯错，三个努⼒追求完整的⽆理数最后没有取得特别完满的结果，也就不那么令⼈意外了。