1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了23个问题，这些问题几乎成为引领20世纪数学研究的纲领。百年过去，这23问中有一些已经得到解决，有些取得长足的进步，还有一部分完全没有解决。今年3月，两位印度数学家发表了他们关于希尔伯特第12问的最新研究，即关于数域上阿贝尔域扩张的构造问题，为这一问题的解决带来了曙光。
数论，之所以被称为数学头顶最璀璨的王冠，是因为几乎所有数学的分支都可以用来处理数论问题。而其中最为主流的代数数论，便是从抽象代数结构的视点来分析数域的代数性质。代数学起源于对多项式方程的研究，解方程则对应着数域的扩张。这就使得数学家关注的重心从方程本身，转移到对域扩张的研究。
其中最重要的一类扩张，称为阿贝尔扩张；这个概念在著名的希尔伯特23问中占有一席，第12问即是关于有理数域上阿贝尔扩张的构造方法是否可以拓展到其他数域。
我们的故事开始于约两百年前的普鲁士王国。1823年，居住在李格尼茨的犹太人克罗内克一家诞生了一个聪明的男孩，男孩名叫利奥波德。他所生长的这个城市历史悠久，从希腊时代起，便有人在此定居，此后数千年，它见证了宗教的兴起，骑士的衰落。数十年前，腓特烈大帝正是在此以少胜多，大败奥地利与俄国的联军。到了十九世纪，硝烟逐渐被冲淡，留下历史的厚重。
19世纪末，数学发生了翻天覆地的变化，其研究方法的严格性，抽象性都经历了质的飞跃。希尔伯特当然也拜访了当时德高望重的克罗内克。不过他惊讶地发现，克罗内克对于新的数学并没有太大兴趣：他反对康托尔的集合论，也对非构造的代数证明法持保留意见。几年之后，克罗内克与世长辞，在他死后的1896年，希尔伯特给出了他对于克罗内克-韦伯定理的证明。
此时数学家们还没有发现韦伯证明中的错误，而希尔伯特本人也认为，自己只是给出了一个较为简单的证法而以。不过现在看来，是希尔伯特首先证明了这个定理。
二十世纪中叶，数学家们逐渐注意到p-进数的重要性。要理解p-进数，我们需要先看看Q到R是怎么扩张的。R，因为根号2不能写作两个整数的商。那么根号二究竟是什么呢？它其实是一个数列，它满足所谓的柯西收敛准则，即当项数足够大时，任意两项之差足够小。因此根号2就是一个柯西列，收敛于R。我们就可以直接把R等同于上述这个数列。当然，可能会有两个序列收敛于同一个数，那样就定义两个数列等价。
2021年三月，两名印度数学家，Samit Dasgupta和Mahesh Kakde发表了他们对希尔伯特第12问的部分回答。他们使用p-进L函数解决了全实域上阿贝尔扩张的构造问题。所谓全实域，就是说当我们把这个域嵌入到R中，它一定是实数域的子域。这是一种比较容易处理的域，但对于他们所研究的问题而言也极为困难。两名数学家的学术生涯基本上都在跟这个问题打交道。
其中Dasgupta的导师的导师，正是格罗斯。他从博士开始就在研究格罗斯的问题，直到去年，他们才取得了关键突破。如今，这段旅程终于迎来里程碑，人类对于阿贝尔扩张的理解又向前迈进了一步。这项成果不仅来自两人的合作，也来自几代数学家不懈的努力。不过，希尔伯特的问题还是没有完全得到回答。