数学家William Thurston是1982年菲尔兹奖得主。在《菲尔兹奖得主Thurston的十个故事》中，我们看到了这位数学天才的传奇。今天主要介绍Thurston与庞加莱猜想的关系。庞加莱猜想是数学家庞加莱于1904年提出的一个拓扑学猜想，也是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。Thurston提出的几何化猜想如果被证明是正确的，那么庞加莱猜想就是它的一个推论。
正是通过证明Thurston几何化猜想，佩雷尔曼最终在2002年解决了庞加莱猜想。
每个领域都有超级明星——生物学有达尔文，化学有鲍林，物理学有牛顿，古典音乐有莫扎特，心理学有弗洛伊德。数学同样有超级明星，牛顿也位列其中。关注数学教育的人争论数学天赋是否与生俱来，又或是否天赋只要达到了一定的阈值，就能通过教育在数学上有所成就。
许多人能从数学学习和职业生涯中获得巨大的满足感，但他们并不是超级明星，甚至不是明星。在某些领域，天才在很小的时候就显现，莫扎特就是典型例子。有很多人认为，数学家最好的成果都出现在职业生涯早期，这种说法并不完全准确。然而，作为对数学天赋的认可，最负盛名的数学奖项——菲尔兹奖——只颁发给40岁以下的人！
莫扎特和舒伯特不到40岁就去世了，数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）和伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）同样如此。
在更晚近的年代，还有很多才华横溢的数学家也是英年早逝：拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920），米哈伊尔·亚科维奇·苏斯林（Mikhail Yakovlevich Suslin，1894-1919），安德烈斯·弗洛尔（Andreas Floer，1956-1991），以及奥迪·施拉姆（Oded Schramm，1961-2008）。
数学家们都各有特色：一些人在多个数学领域都做出了出色的工作，另一些则是在某个专业的数学领域取得了惊人的成果；一些人专注于数学研究，另一些还涉猎其他领域；一些人只谈论数学，另一些在空闲时除了数学也谈论政治、音乐、艺术和文学。
这篇文章是对杰出数学家威廉·瑟斯顿的致敬。1982年，瑟斯顿同Alain Connes和丘成桐一道获得了菲尔兹奖。瑟斯顿不仅在数学上做出了重要成就，而且乐于与人们分享他的专业知识以及对数学的洞见和热情。
数学有许多领域，例如代数和几何，但是通常很难界定特定的数学“属于”哪个领域，因此，人们会谈论几何代数和代数几何。虽然大多数人视瑟斯顿为拓扑学家，但他也研究几何学，他的一些工作被描述为几何拓扑学。
几何和拓扑学家对曲面感兴趣。我们熟悉各种曲面，比如平面、球面、锥面和甜甜圈（环面）。流形是一类特殊的曲面，从其上的每一点看来，临近的区域都类似欧氏空间。更准确地说，流形具有如下性质：流形（曲面）的每一点都位于一个集合的中心，这个集合拓扑等价于一个（开）欧氏球。
庞加莱猜想如何界定一个拓扑的2维欧氏圆？拓扑圆的一个基本性质是它们把平面划分为三个集合：拓扑圆上的点、圆内部的点和圆外部的点。简单的闭合曲线——拓扑圆的另一个名称——遵循这个性质似乎极为明显，以至于在很多年里都没有基于更基础的几何学来证明这是正确的。最后是法国数学家若尔当（Camille Jordan，1838-1922）付诸行动，这个结果被称为若尔当曲线定理：简单闭曲线是拓扑圆，与欧氏圆同胚。
若尔当曲线定理说明，每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。若尔当曲线定理表面上似乎是十分显然的，但要证明它却十分困难。
人们最初认为，把拓扑圆的概念推广到3维空间与球面同胚的曲面是轻而易举的事情。然而，数学家们逐渐认识到，要将图形的属性转换到不同维度的空间并不是那么容易。
例如，如果两个简单多边形（多边形的边相交的地方是一个顶点）的面积相同，那么总有办法将其中一个多边形切割成有限数量的简单凸多边形碎片，然后将这些碎片重新组合成另一个多边形，就像玩拼图一样。然而，希尔伯特（1862-1943）的一个学生，也对曲面理论做出了重要贡献的Max Dehn（1878-1952），证明了这个定理的3维版本并不成立（这也是希尔伯特23个问题中的第三个）。
也就是说，不可能把立方体切割成有限数量的凸多面体块，然后重新组装成同样体积的正四面体。因此，研究流形和曲面拓扑的数学家对维度转换后2维对象的基本性质能否保留持谨慎态度。