范畴论是现代数学中重要的一门学科，已经对人们理解现代数学和物理问题产生了深远影响。简单来说，这是一门研究“关系”及其性质的学问，是数学的数学。但作为一项极为抽象的理论，繁杂的技术细节会令人望而却步。本文则从另一个角度，把范畴论作为谈论数学的语言，阐述其对思维方式的影响。文章作者深受范畴论影响，举出许多实例来辅以帮助理解范畴论的思想和哲学，希冀对我们理解范畴论，体会范畴的思考方式有所帮助。
撰文 | 叶凌远
前言
不知道大家有没有看过《降临》，这是一部科幻电影，根据特德·姜的小说《你一生的故事》改编而成。里面讲述了人类和外星人初次接触时的故事。这个科幻故事的立足点非常有趣，它基于一位语言学家和一位人类学家在20世纪中叶所提出的沙皮尔-沃尔夫假说（Sapir-Whorf hypothesis），有时也被称为语言相对论（linguistic relativity）。
假说的主要内容是，一个人所掌握语言的内部结构会影响其思维方式和对世界的认知，于是使用不同语言的人其思维方式就不尽相同。在笔者的认识中，数学在某种意义上便是一门语言，尽管其是抽象的，但正是借助数学的抽象性，我们才能认识到客观世界背后的普遍规律。
今天这篇文章希望为读者介绍一下范畴论。范畴论的历史很短，还不到百年。
它的创立脱胎于桑德斯·麦克莱恩（Saunders MacLane，1909-2005）和塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）在1945年发表的论文General theory of natural equivalences。短短七八十年的时间，范畴论已经渗透进了现代数学的大多数领域，特别是代数几何和代数拓扑。
对大部分人而言，范畴论并不应该被理解成数学的一个分支；在某种意义上，范畴论应该被理解为谈论数学对象的语言。数学对象已是抽象的了，谈论抽象对象的语言本身只会更为抽象。我想这也许也是许多人不喜欢范畴论的原因。
但从沙皮尔-沃尔夫假说的角度来看，学习范畴的语言，本质上是在学习范畴的思考方式；而这样的思考方式所带来的力量是没有掌握的人难以想象的——就像在《降临》中，掌握外星人的语言就意味着对时间的理解达到了其他人难以想象的程度。仅以笔者个人的经验来说，只有在学会了范畴的语言后才感到不同的数学对象和领域作为一个整体是可以被理解的。
尽管范畴论只有很短的历史，但它已经发展成为了一门非常丰富的学科，有许多的技术内容。范畴论所带来的洞见非常多，许多更加深刻的洞察也更为专业化。而在这篇文章中，我并不会介绍任何范畴论的技术细节，甚至都不会给出范畴精确的数学定义。我希望着重强调的是范畴论的思考方式，这才是对大多数读者而言最有用的部分。范畴论所带来的洞见非常多，但许多更为深刻的洞见也更为专业化。
本文只在最基础的层面讲讲范畴论对我们思考问题的方式所带来的转变，希望这能够激起部分读者的兴趣，以致能够更加深入地学习范畴论的内容。这篇文章凝结了笔者很长时间思考的积累，希望能对读者有所启发。全文共9000字左右。