你一定经历过洗澡时水温过热或过冷时的情况，结果调节过量又导致水太烫或太凉了。其实有一个数学方程可以描述这种现象，我们也可以形象地称它为“淋浴方程”，而其中的关键就是延迟——因为水从水管流出需要时间。方程求得的结果是真正能调出最佳温度，还是就只能凑合洗洗？生活中，涉及到延迟的现象太多了，那么淋浴方程又能用在何处？
淋浴的时候，我们都经历过这种情况：如果感觉水温有些凉就调热一点儿，不过，因为热水经管道流出需要时间，水温不会立刻改变，所以你会把水温调得更高一些。这时再出水后洒到身上，你又会感觉有点烫了。于是你立刻把热水调小，可结果水温又偏低了，然后你又开始加热水……如此反复形成一种循环，我们似乎不可能调整到最合适的水温。
其实这种现象可以用一个方程来描述，而且这个方程可不是只能用来分析洗澡水温度——从气候变化到新冠疫情的扩散，它有着广泛的应用。其原因就在于，世界上许多变化的过程都受到延迟的影响。在具体分析之前，我们先来看看这个方程的形式。
描述淋浴的微分方程如果用函数代表我们在时间等于这一时刻感受到的水温，并假设水流过管道需要秒。
那么淋浴方程如下，在这个表达式中，左端的表示在时刻水温的变化率（即水温关于时间的导数，表示水温变化的快慢）。如果这一项为正数，说明在此时水温正在上升；如果为负数，则水温正在下降。正的数值越大，说明此时水温升高的越快，反之亦然。方程右端告诉我们，时刻的变化率正比于秒前的温度，即。这是合乎常理的：此时此刻温度的变化率取决于时刻我们调整热水量的多少，也就取决于在时刻我们感受到水的冷热。
右端项中的即是正比系数（我们假设该常数大于零）。而右端的负号意味着，在时刻感受到水温高的时候，我们会调小热水量，导致时刻水温降低；当水温低时，我们会调大热水量，导致时刻水温升高。
我们需要找到满足上文提到的淋浴方程的函数，进而表示任意时刻的温度。而求解出将会告诉我们，通过不断调整，最终会稳定在一个舒适的温度，还是会一直变来变去，永远都不会有令人满意的结果。
淋浴方程的应用：气候变化与COVID-19如果读者跳过了数学繁杂的部分，欢迎回来继续阅读！我们刚才讨论的结果是：如果为延迟的时间，为正比系数乘积小于，则淋浴的水温是可控的，即我们最终可调整至理想的温度；如果，水温不仅可控而且调节过程中没有任何振荡。如果，则在到达理想温度前，解会存在振荡逼近的过程。
现在我们来看看淋浴方程的其他应用，其最重要的应用之一是气候动力学，因为很多的气候现象都需要一段时间才能产生影响。比如，如果我们排入大气中的二氧化碳总量发生变化，那么我们必须等待一段时间才能看到它对地球温度的实际影响。这就造成降低二氧化碳排放所产生的效果难以确定，而且还可能导致温度不可控的振荡。
另一个例子是关于厄尔尼诺-南方涛动（ENSO）：厄尔尼诺现象是热带太平洋地区温度的一种不规则变化，洋流和大气之间相互作用引起海洋温度升高，每次升温事件之间大约间隔4年。这一现象对太平洋地区，乃至是全世界的经济发展都有重大影响。如果我们可以更好地预测它，那么这将有助于太平洋地区的人们做好准备。
淋浴方程和我们当下严峻的新冠疫情紧密相关。
我们正在通过控制社交距离和接种疫苗来试图控制全球的疫情，但是这些举措需要时间才能看到效果。显然，模型中涉及了延迟。除此之外，病毒的潜伏期也有一段时间。在潜伏期内，病人没有任何症状，所以就存在一个人被感染至被发现患病之间的延迟。在建模时，引入这些延迟就会导出了具有延迟和控制影响的SIR方程（一种常用的传播模型），从而帮助我们理解和控制疫情。当然，这也可以从淋浴方程变形而来。
和ENSO系统一样，一旦延迟被纳入到方程中，事件就会变得更加不确定。因此，(卫生和经济)系统的可控制性如何还有待观察。