日有所思，夜有所梦。每天都在做数学，梦中就出现了数学问题。从中学题目到部分大学在研究生才学习的李群和李代数，有这么几道有意思的题，姑且记来。撰文｜咸道《红楼梦》中有一个故事：香菱学作诗，用了很多苦功也没能作好，却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗？我所关心的是：在梦中能做数学吗？
也许某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中，场景变化很快，而且是跳跃式的，每个场景持续的时间很短，更谈不上逻辑性。而要证明一个定理，需要多步推理且还要反复检验，在梦中当然不可能做到。但是，在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句，我还是相信的。但另一个问题是，绝大多数梦境在醒来时都忘了，只有在梦见妙句时突然醒来，才有可能记下并传之于世。
对于数学，这样的好事最近我遇到多次，写出来与大家分享，就是数学的“痴人说梦”了。
一 日 有 所 思先得说明一下“日有所思”，才好解释什么是“夜有所梦”。由于新冠肺炎流行，我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的，去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完，但整理书稿的工作量仍很大。
幸乎不幸乎，新冠肺炎让我有了时间，而且学校延期开学，开学后又是网上授课，这样我有了近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修订工作，向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。开学后的教学工作，当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》，我觉得上网课肯定是不行的，遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效，因为同学们提出的问题往往是同学们先回答，而且到处查阅资料。
大家在微信群中上传的文件也很多，有些贪婪的同学把整本的厚书上传，如EGA（格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写，即《代数几何原本》）和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有对本科生甚至中学生的教学任务，这些目前还没有值得一提的进展，但仍在努力。
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应该说这些工作的难度都不大，否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，梦中就会常出现数学问题，有几个醒来时还没忘，而且觉得有点意思，下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高排列的。
二 夜 之 所 梦梦到数学题记，即“黄金分割数”。
我梦到一个问题: 应该有两个整数 a_n ,b_n，使得 ω^-n=a_n+b_nω ，在梦中想到 a_n , b_n 应该有递推公式，努力了一下没想出来就醒了。醒来想想，这个问题有点意思，因为答案是 ω^-n=F_n+1+F_nω。其中 {F_n} 为斐波那契数列，即满足 F_1=F_2=1，且对 n>1 有 F_n+1=F_n+F_n-1。
证明当然不难，而且办法很多，但似乎没有 trivial 的。所以我就拿给中学生去做了。
梦到本科题不知怎么梦到一个数 {a_n} 满足递推关系 。醒来想想，类似的递推关系见过不少，但与此相同的没见过（哪位见过请指教）。这个递推关系有意思之处在于: 只要 a_1>0，所得的数列总是收敛的，但可能是单增的，也可能是单减的，还可能是既不增也不减的。而且其极限总是 ω^-1。递推关系还可改为 ，其中 a 是一个固定的正实数。我觉得这个题目够作为一个本科数学竞赛题的。您觉得呢？
梦到李群与李代数问题之一设复变元 z 的幂级数 的收敛半径为 R（可能为∞)，n 阶复方阵 T 的特征值的绝对值都小于 R。则矩阵幂级数 收敛。这是我在讲李群与李代数课程时学生提出的问题，讲课也用得着。当时的想法是化为若尔当标准型，这样证明没问题，但感觉有点隐患，结果在梦中暴露出来。在梦中遇到这个问题，却是和李群与李代数课程中经常遇到的另一个问题——解析性联系了起来。
具体说，如果 n 阶复方阵 T= (t_ij)，将其中的 t_ij 都看作变元，那么 f(T) 中的变元是否都是诸 t_ij 的解析函数呢？在梦中苦苦挣扎，因为用若尔当标准型的办法好像怎么也过不去，就这样醒了。这个梦是忘不了的，尽管还不能算是噩梦。后面就是梦醒后的故事了。
醒来后想想，上述问题的答案应该是肯定的，但用若尔当标准型即使可以做，恐怕也很麻烦，因为需要用到特征根，就会遇到单值阻碍（monodromy obstruction），真的苦了。最好能想个不用特征根的路子。后来受维尔斯特拉斯预备定理启发，有了个办法，写成下面的习题。
习 题
设复变元 z 的幂级数 的收敛半径为 R（可能为∞)。T= (t_ij) 为 n 阶复方阵，正实数 r<R。证明若 T 的特征值的绝对值都小于 r，则 ，并由此证明 f(T) 的元都是 t_ij (1≤i, j≤n) 的解析函数。
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这样我写的书里就增加了一道习题。如果您做了这个习题，就会觉得我这个梦没白做了。
梦到李群与李代数问题之二下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。
醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。
习 题 1
设 V 为实线性空间 ，则 。定义一个映射 σ:V→V。易见 σ 是一一映射，即 。所有这样的映射组成 Per(V) 的一个子群，记为 。证明 有一个自然的李群结构，其中满足 T=id_V 的元组成一个正规李子群 H，而 。
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习 题 2
设 V 为欧几里德空间（内积为<,>）。一个映射 σ:V→V 称为运动，如果它保持距离，即对任意 有 。证明 ，具体说有一个正交变换 及一个 使得对任 意 ，有 。证明所有运动组成 的一个李子群，记为 。
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这些都是我在做梦之前就知道的，所以在梦中出现并不奇怪。而梦中的潜意识就引导到计算 的李代数。由于 不是 的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用 的一个很好的线性表示来解决这个问题。这样就在书中又增加了一道习题。
三 尾 声
诸位在抗疫期间都好吗？问候大家了。如果您成天看的都是疫情消息，这篇文章就算是给您打打岔了。在这段时间能做几个好梦，也算是不幸之中的小幸了。不知诸位是否也做过数学的好梦，若有请拿来分享。谢谢大家。