六角密堆积是平面上最有效堆积方式的证明乃是人类历史上最天才的数学证明之一。数学家阿克塞尔·图在1910年关于六角密堆积是平面上最有效堆积方式的证明乃是人类历史上最天才的数学证明之一。这个证明不仅简洁、天才、惊艳，最重要的是该证明的哲学、技巧以及相关联的思考具有深刻的启发性意义。
在桌面上摆放一把相同的圆形硬币，这会把我们引入平面上圆如何铺排的有趣问题。容易看到，一个硬币可以被六个硬币紧密环绕。
所谓紧密的意思是，相邻三个硬币两两相接，形成一个正三角形；外围的六个硬币相互间是有接触的，没留下空隙。把外围六个圆之间的接触点用直线段连起来，就得到一个围住中心圆的正六边形。如果我们将这七个圆的圆心排列，中间一个点，其余六个点在以其为中心的正六边形的六个顶点上。这种排列方式称为六角密堆积。
阿克塞尔·图在1910年提供了一个非常简洁的但是意义深远的关于六角密堆积的证明。
首先，考虑图4左图中在平面内随机分布的诸多小圆，作任何一个小圆同近邻小圆之圆心连线的垂直平分线，会得到图4左图中的连线结构。每一个小圆都被一个凸多边形包围。观察第2步得到的连线结构，会注意到从每个连线节点发出的线段都是三条。从垂直平分线的节点向三小圆作切线，共六条，容易证明每个圆的两条切线在节点处所张的顶角相等，记为θ。
但是，在平面内，3θ ≤ 360°，也即θ的最大值为120°，这种情形对应的就是图1中圆的排列方式，故六角密排是最致密的排列方式。
这个证明的天才、惊艳之处值得多啰嗦几句。证明图2中的规则图案所对应的问题却从图4左图中的一般性随机图案出发，这个从方法论的角度来看就是了不起的举动。其所隐含的哲学意味也是有趣的——一个问题在更复杂的语境中反而是简单的。作相邻点连线的垂直平分线，想法有趣，结果意义深远。
那么，人家是怎么想到要这么做的呢？笔者在给研究生讲授表面物理的时候，突然想到，这就是个发面的过程。设想图4左图中的每个小圆是一个发面团，随着烘烤的进行面团会向各方向扩张，则相邻两个面团最后达成的分界线就是两面团之间连线的垂直平分线。图4左图中那些连线在小圆周围围成的多边形，称为伏龙诺伊单胞。
平面内圆的密堆积问题在三维空间里对应的是球的密堆积。
设想把球在平面内按照图2中的六角密堆积排成一层，记为A层。将同样的一层，B层，放到A层上，且每个B层的球落在A层中相邻三球围成的空隙中。现在考虑第三层，C层的放法。选择1，C层的球落在B层的相邻三球围成的空隙中，但是位于A层球的正上方。换句话说，C层就是另一个A层。重复上述步骤，得到ABABABAB…形式的空间排列，这种排列方式是空间的六角密堆积。
选择2，C层的球落在B层的相邻三球围成的空隙，但也处于A层的相邻三球围成的空隙正上方。重复上述步骤，得到ABCABCABCABC…形式的空间排列，这种排列方式是空间的立方密堆积。
开普勒猜测这样的堆垛方式是密度最大或者说空间占比最大的，这就是所谓的开普勒猜想。证明开普勒猜想，用阿克塞尔·图对付平面中圆密堆积的方法不凑效，因为包围单个球的凸多面体不是单一的——最小的凸多面体是正十二面体。
不过，似乎也只有有限种选择，因此穷举法未必不是证明的思路。1831年，高斯证明了如果球必须按照规则的晶格排列，那开普勒猜想就是正确的。海尔斯的团队于1998年宣布找到了证明，最后的证明于2017年发表在Forum of Mathematics Pi杂志上。