在欧几里得的《几何原本》中，有一条明显与众不同的公理，即第五公设，现代称为平行公设：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。要“证明”它，人们发现连直线本身的定义就有瑕疵，在耗费了数学家近两千年的时间后，关于直线、空间等基础的概念彻底发生了变化，我们彻底打开了一个新世界——非欧几何，这正是这条复杂公理里蕴藏的智慧。
这篇文
章将介绍一些关于探索第五公设的早期历史，我们可以看到几何学的深刻从此展露出来。本文经授权节选自《尖叫的数学：令人惊叹的数学之美》（湖南科学技术出版社）第六章《非欧几何的世界》。本文标题和小标为编者所加。点击文末“阅读原文”可购买此书。点击“在看”并发表您的感想至留言区，截至2022年1月2日中午12点，我们会选2条留言，各赠书1本。
1919年11月7日，伦敦《泰晤士报》中有一篇报道，其标题为“科学的革命，宇宙新理论，牛顿的思想被彻底推翻”。同年5月，天文学家亚瑟·爱丁顿和弗兰克·戴森分别前往几内亚的一个海岛和巴西，观测了日全食现象，11月6日，在一场注定会被历史铭记的皇家学会会议上，他们交流了观测结果，而观测结果证实了广义相对论的预言：太阳的质量使光线在空中发生了偏折。
全世界的新闻媒体接二连三地转发这则新闻，爱因斯坦一夜成名。“世界历史上的一个新伟人！”某个柏林报刊在爱因斯坦的照片下配上了这样的文字。《泰晤士报》援引皇家学会主席的话，写道：1846年海王星的发现强有力地证实了牛顿定律和欧氏几何的正确性，而广义相对论是继发现海王星之后最重大的事件。
如今，“关于宇宙这个大工厂的科学观点应该做出改变了”，以和“人类思想最重要的表述，或者说最重要的表述之一”——相对论达成一致。爱丁顿认为相对论是“展现数学推理力量最好的例证之一”。一个天才数学家在19世纪中期的一个宿命时刻预测的空间观，引发了一场激动人心的变革的高潮，在两千年后，先于牛顿推翻了唯一的欧氏几何理论，解放了几何学家，打开了他们创造性的想象。
数学中经常出现的一种情况就是，那些看似最明显和熟悉的概念，反而最难给出严谨的定义。杰出的百科全书式学者和数学家达朗贝尔写了一句很有名的话。他在1795年写道：“直线的定义和特性，如同平行线的定义和特性，这么说吧，是几何原理中的障碍和家丑。”达朗贝尔补充说，直线的普通定义就是两点之间最短的线。如果你们想一想，或许会赞同他给出的定义。这位法国学者接着说，可这个定义看起来更像是直线的特性而不是原始概念。
你怎么知道它是最短的那条呢？谁说从一点到另一点只有一条最短的路径呢？我们之所以赞同这个直线的概念，只是因为它隐含了这个事实。如果我们无法对直线下一个令人满意的定义，那我们也不可能给出平行线的定义。
《几何原本》中的前三条公设（在任意相异两点之间能作且只能作一直线；直线两端可任意延长；给定任意圆心和半径可以作圆）确保了构造基础几何图形的可能性。第四公设为所有直角都彼此相等。
而第五公设，即所谓的平行公设，第一眼看上去很是与众不同：同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于两直角和，则该两直线无限延长后必在这一侧相交。你们在纸上作个图，就会一目了然了。然而，你们可能会认为这条公设根本不是那么显而易见，在概念上比起前四条，无论如何都要复杂得多。达朗贝尔口中“几何的障碍和家丑”，说的就是这条公设。
可它至关重要，因为正方形的构建、毕达哥拉斯定理的证明以及由它推演出的其他所有定理，都以这条公设为基础。