21世纪的⼀个重要特征是，哪怕是笑话也都有科技含量，没有点⼉数理底⼦还真捕捉不到笑点。近⽇宝岛退将侯“⼀发导弹拦截成功率70%，三发⼀起拦截成功率210%”的⾼论，给这个平淡的夏⽇添了个超级笑料。然⽽，导弹拦截不是个简单的概率计算问题，它还是物理问题和经济问题。借着品味这个笑话，我们不妨好好学习⼀些加法的基础知识，以及描述⻜⾏物体的物理知识。
笑话年年有，今年更独特。
近些⽇⼦，有宝岛退休将领侯做电视节⽬嘉宾时⾔道：“⼀发导弹拦截的成功率是70%，那我三发⼀起拦截，成功率就是210%嘛，哪有拦不住的！”有点⼉常识的⼈瞬间捕捉到这是个⼤笑话，吓得赶忙捧腹扶眼镜。这笑话在华⼈圈⼀时间热度飙到42℃。有⼈直⾔这位宝岛退将的数学是体育⽼师教的，结果因为侮辱了体育⽼师被体育⽼师给打了。
有宝岛⼥嘉宾怒怼，“⼀发导弹拦截成功率70%，三发拦截成功率就是210%，照这么说四杯25℃的⽔，倒在⼀起直接就沸腾喽！”还有⼈从排列组合的⻆度，分别给出三发导弹中与不中⼋种不同组合的概率。这画⻛转换有点⼉快，⼀个笑话竟然还引出⼀堂数学课来了。
既然有⼈关切，笔者也来凑个热闹，假装很不严肃地好好讨论⼀下这个问题：“设⼀发反导导弹对来袭导弹的拦截成功率为70%，那么，三发⼀起拦截的成功率是多少？
”概率的数学初步⾸先，alas，这个问题是错的！对着来袭导弹发射⼀发反导导弹，结果就两种：击中或者没击中。⽤数值表示，就是1或者0，没有成功率70%的说法。所谓的成功率为70%这种说法，是⼀种统计语⾔的描述，⽽统计是针对⼤数⽽⾔的。设⽤某型号导弹拦截某确定型号的来袭导弹，在相同条件下实验了N次，其中成功了M次，则若N⾜够⼤，数值可认定为该导弹拦截实验的成功率。
因此，正确的说法是⽤某型号导弹拦截某型号来袭导弹的成功率为多少，⽽不是⽤⼀发导弹拦截的成功率为多少。那么，实验次数(观察次数)，或者⽤更⼀般性的术语，统计样本数，多⼤才算⾜够⼤呢？这个得看具体的研究对象了。⽐如，有⼀⻔物理叫统计物理，其涉及对象的样本数动辄是10^23量级的；关于我国国⺠出⽣时体重的统计，样本数是在10亿的规模。
⾄于反导导弹的成功率，要求实验次数达100次计算的成功率才是可靠的，但这从物理的⻆度看却很过分。⽤100发反导导弹做实验去获得其成功率数据？你问问⼀般国⼒的国家买不买得起100发反导导弹？所以，某型号导弹拦截成功率的说法其实是个不很靠谱的说法。
好吧，退⼀步说，假设拦截成功率为70%是个经过⼤数实验得到的⽐较可靠的说法。70%成功率的拦截导弹可让⼈不踏实。
如果想提⾼拦截成功率，直觉的做法是多发⼏发反导导弹，⼀发不⾏两发，两发不⾏三发……这就引出了⼀个问题，⽤n发导弹拦截，拦截成功率是多少？具体到本⽂关切的问题，拦截成功率为70%的某型导弹，3发导弹拦截⼀发来袭导弹，成功率是多少？⼀种算法是，70% + 70% + 70% = 210%。210% > 100%, 结论：“那肯定就拦截成功了嗦！”这当然是个笑话。
但是，这个笑话却引出⼀个⽐较严肃的话题：“什么样的（物理）量是（代数）可加的？”我们熟悉的⻓度、⾯积、体积、质量、兜⾥的钞票、物体数⽬等等是(代数)可加的。⽐如3个+5个=8个 3⽶+5⽶=8⽶ 3块钱+5块钱=8块钱 3千克+五千克=8千克就是我们熟悉的加法。但是，但是，千万不要以为代数加法简单。
有学过普通物理的朋友会说电荷也是代数可加的（⻨克斯⻙的电磁学经典会有专⻔⼀节讲关于电荷代数可加性的认识过程），3库伦+5库伦=8库伦。然⽽，这⾥有个⼤陷阱。电荷跟质量不同的地⽅在于它是极性的（polar），电荷分正负。-3库伦+3库伦=0库伦。⼀个区域内总电荷为0库伦是没有电荷吗？你要这么想就na?ve了。⼀个区域内总电荷为零，同⼀个区域内没有电荷，是完全不同的两种物理体系。
就是钱财这个量，⼀旦被扩展到可取负值的情形，其加法也是可疑的。⽐如，某甲⽉收⼊3800元，某⼄⽉进账24833800元，⽋账24830000元，24833800+(-24830000)=3800，但前者是普通⾼收⼊阶层，⽽后者属于精英⼟壕阶层。
热⼒学会将物理量按照性质严格地加以区分。粒⼦数N、体积V、表⾯积A等是⼴延量。
两个体系凑⼀起，相应的这些量可以代数相加，其分别对应的化学势μ、压强p、表⾯能σ则是强度量。强度量不能简单相加。前述宝岛⼥嘉宾怒怼，“……照这么说，四杯25℃的⽔倒在⼀起直接就沸腾喽！”这说明⼤家都知道温度是不能简单相加的。在热⼒学⾥，温度T是个强度量，它对应的⼴延量就是不懂的⼈特别愿意使⽤的概念：熵(S，entropy)。
其实，温度是个统计量，很少有体系有明确的温度，但熵总是有的，且可以简单相加。本⽂关注概率问题，概率不能简单相加！⼀般教科书⾥处理的简单概率问题，会⽤到与⼆项式展开(p+q)^n相关的杨辉三⻆(Pascal triangle)⽅⾯的知识。让我们⼀起回顾⼀下。⼆项式展开(p+q)^n的前⼏项如下：注意右⾯各⾏的系数。
再硬性(!)引⼊(p+q)^0=1(这说明为什么⾃然数要从0开始)，就构成了⼤家熟悉的杨辉三⻆(图1)。图1. 杨辉三⻆(Pascal triangle)设想p是某件事发⽣(成功)的概率，q是某件事未发⽣(不成功)的概率，p+q=1。现在神奇的事情发⽣了。不管n是⼏，(p+q)^n=1都成⽴。这就是说，杨辉三⻆的每⼀⾏恰恰就是这类事件被重复考察n次时，相应的各种可能对应的概率。
⽐如，对某事件实验三次，则表达式(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3的右侧分别就是发⽣3，2，1，0次的概率；若对某事件实验四次，则表达式(p+q)^4=p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4的右侧分别就是发⽣4，3，2，1，0次的概率。是不是很简单？
于是，关于“⼀发导弹拦截成功率为70%，三发导弹拦截的成功率是多少”这事⼉，有⼈会计算如下。
参照表达式(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3，则三发皆中的概率为70%×70%×70%=34.3%，两发中⼀发未中的概率为3×70%×70%×30%=18.9%；⼀发中两发未中的概率为3×70%×30%×30%=44.1%。三者相加，故拦截成功的概率为97.3%。或者，拦截不成功的概率为30%×30%×30%=2.7%，则拦截成功的概率为100% -2.7%=97.3%。
简单吧？
导弹拦截拦截是个物理问题和经济问题。问题要是那么简单就好喽。学过概率论的⼈都知道，概率论是⼀⻔坑很多的学科，要不天下有开赌场致富的⾮法路径呢。概率论不是简单的拿个算式去算个数，要考虑问题的物理图像，物理图像，物理图像！先说说中学物理⾥的常⻅的接灯泡问题（伪物理问题）。
设有⼀种灯泡，接上电会亮的概率为p=70%{按说就不该出⼚}，问三个灯泡串联和并联的情形下（图2），教室有亮光的概率各是多少？
如果是串联，有⼀个不亮就把整个电路断了，所以教室被照明的概率是表达式(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3右侧的第⼀项，为34.3%；如果是并联，但凡有⼀个灯泡是亮的就⾏，所以教室被照明的概率是表达式(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3前三项之和，也就是1-q^3，为97.3%。
图2. 三灯泡并联电路三个灯泡并联的问题，与使⽤⼤炮轰击⼀个⽬标的问题相同：三发炮弹⻬发，但凡有⼀发轰击到⽬标，即算达到⽬标。⽬标被摧毁的概率可以按照前述算法计算。这⾥计算正确性的保证来⾃三发炮弹的独⽴性。然⽽，关于三发导弹拦截⼀发来袭导弹成功率的计算，看似与三个灯泡并联和三发炮弹⻬发的问题相同，但实际上却有很⼤的差别。
设若敌⽅有⼀发导弹来袭，且来袭导弹在⻜⾏途中，这时的反导⼤概就是所谓的中段反导（图3）。若时间还允许，拦截⽅式⼤概是发射⼀发，如果成功，事情到此为⽌；如果不成功，赶紧补发⼀发。为什么不三发⻬发呢？因为反导导弹太珍贵了，糟蹋不起。再者，导弹都是在⾼速运⾏中的，三发⻬发⼜不能做到同时击中来袭导弹，则若⼀发击中来袭导弹（这是我们的追求和⽬标），其它两发不是⽩浪费了。
这⼜不是炮弹轰击敌阵地，⼀发击中，补中两发算是加强打击效果。当然了，实际测试反导导弹性能时，双发⻬发倒是真有的。三发⻬发不是原则上不可以，⽽是实在没那么豪⽓。图3. 反导实验如果敌⽅来袭导弹已经接近⽬标，这就是末段反导了。这时候的拦截务必要做到万⽆⼀失，特别是为了保护⾼价值⽬标，为此可以不惜代价。这个阶段的拦截⼿段⼀般使⽤近防炮。
近防炮要形成⼀道动态的弹幕，让⼀段时间内的来袭⽬标，哪怕是⼀发炮弹，都不能通过。为此，近防炮的关键指标是射速，⼀般在每分钟6000发以上。我国新型船舰上使⽤的1130近防炮，射速超过每分钟⼀万发以上，射击距离在3公⾥左右（图4）。⼀分钟⼀万多发，速射⼗分钟就是⼗多万发。⼗万发速射炮炮弹，你估计⼀下得多少钱？真打不起啊。图4. 舰载近防炮射击中
来⾃反导的开悟。
在基础物理中，描述⼀个运动物体，要⽤到质量m，速度v（这是⼀个⽮量），动量p=mv(⽮量)，和动能E_k=?mv^2。按说，有了质量m和速度v就够了，为啥还要⽤到动量和动能呢？关于这个问题，笔者当普物⽼师时没想明⽩，但是盯着导弹和反导的示意图（图5）时我想明⽩了。图5. 导弹的变轨⾸先，不管是导弹还是反导导弹，速度是硬道理。⻜得够快，才能追得上对⼿或者免于被对⼿追上。
这就是我们的导弹追求⾼速的道理。据公开信息，我国东⻛17的速度约为10⻢赫，东⻛41的速度可达25⻢赫，这速度是杠杠的。然⽽，导弹的⾼性能不光在于速度，还在于⾼机动性。导弹在突袭或者反导的时候要能灵活地变轨，这要根据⽜顿第⼆定律，F=dp/dt，其中⼒F由推进剂提供，可⻅动量是相关的物理参数。
注意，对于速度在10⻢赫量级的导弹，其不仅没有战⽃部，在进⼊⼤⽓层后它还会因为⾼速⻜⾏被逐步烧蚀掉，所以导弹的质量很关键。发射时质量要⾜够⼤，等到达⽬标时我们希望其还能剩个1公⽄左右。接近⽬标后，导弹的毁伤能⼒则由动能表征。⼤家不妨计算⼀下⼀个1公⽄的导弹头(就是⼀块⾦属钨)，速度为25⻢赫时，动能是多少？这样⼤家对它的威⼒就⼼⾥有数啦！
多余的话。宝岛那位退将侯的概率论⽔平，有点可笑，但并不可怕。笔者遇到稍微深⼀层⾯的概率问题，⽐如条件概率，就⼤概率会⽴⻢出错。真正可怕的是，宝岛退将侯这种⽔平的⼈是怎么当上将军的，是怎么能上电视节⽬给别⼈分析问题的？21世纪，国家发展问题⾸先是个科学问题，军事问题也⾸先是个科学问题，对此，我们要端正态度。