庞加莱是当代法国伟大的数学家、物理学家、哲学家、工程师，被誉为人类最后一个啥都懂的人，其学问达到了现象级的深度。庞加莱是一个自成一类的科学家，主导了他所处时代的数学与物理，对所有他投身其中的领域他都做出了重大贡献，其对相对论和量子力学的贡献都是奠基性的、一锤定音式的。庞加莱还是哲学家，其实用偶然主义对科学实践具有普遍的指导意义，而他的那些普及科学的优雅文字将持续影响着这个世界。
物理学有一个分类法是按照研究对象的多少划分的，包括单体问题、两体问题、少体问题和多体问题。近些年来，很多人的聊天词汇里多了个三体的概念。三体问题（three-body problem），一开始是个特别自然的天体物理问题：太阳-地球-月亮这样的靠万有引力相互作用的体系是否是稳定的？这是个标准的杞人忧天。
三体的动力学问题没有闭合形式的通解，对于一般的初始条件都会表现出混沌行为（chaotic behavior）。混沌从此成了一个重要的交叉学科概念。这个概念出自法国伟大的数学家庞加莱的工作。1890年，庞加莱在一篇长达270页的论文里为三体动力学问题的解决提供了系统的思想和数学技术，还让混沌等概念成了社会性概念。
提起数学家，有个关于数学家判据的说法和庞加莱引理有关，非常有趣。
如果有一个人睡得迷迷瞪瞪的，你一脚把他踹醒，问“什么是庞加莱引理？”答不上来的，肯定算不上数学家。庞加莱引理（Poincaré’s lemma）有如此高的地位，可用作数学家的判据，估计会让许多人感到惊讶。庞加莱引理谈论的是开单位球上微分形式的零调性质。
若U是Rn空间的开球，Ek(U)是U上的微分k-形式（differential k-form）空间，则对于k≥1，存在线性变换，使得，其中d是外微分符号。庞加莱引理的推论之一是，若ω是开单位球体上的一个微分k-形式，且dω=0，则存在一个微分(k-1)-形式，有dβ=ω。在矢量分析或者微分拓扑中，外微分为零的形式，dω=0，是闭合形式；而一个微分k-形式如果是外微分，ω=dβ，则称其是精确形式。
一个精确形式肯定是闭合的，但逆定理不一定成立。在可收缩的域上，庞加莱引理保证闭合形式也必是精确的。这部分对于未学过高等数学的读者来说有点难度，可以跳过。读者需要记住的是，这个庞加莱引理的推论在物理学上有诸多应用，(引力、电磁的)势理论，Stokes theorem，这些物理学至关重要的内容都与其有关。
一般的物理教科书不走高深路线，不太提这些内容，但如果你熟悉这些内容，你在学数学物理的时候容易有豁然开朗的感觉。
庞加莱被誉为人类最后一个什么都会的学者（the last universalist），一个全面型的专家（universal specialist），他对数学、物理以及哲学的贡献是全面的、独特的。庞加莱是自成一类的学者。对庞加莱，笔者怀有无限的崇敬。