学好线性代数，我推荐这本书。本书作者阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。在中国，线性代数一般等同于矩阵论，这主要是受华罗庚先生的影响。他的矩阵功底炉火纯青，因此他的学生曾肯成教授这样说：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞。”所谓“打洞”，就是用相似变换或其它矩阵变换将矩阵化成标准型。
据华罗庚的另一得意弟子陆启铿院士讲，当初邀请华罗庚访问美国普林斯顿高等研究所的外尔曾这样评价：“华罗庚玩矩阵就像玩数字一样得心应手。”
大概是陆启铿先生的话被人听岔了，做出这一评价的外尔教授，有时被讹传为韦伊。稍微了解韦伊的人都知道，他不可能说这话。因为韦伊是法国布尔巴基学派的灵魂人物，他跟谢瓦莱都致力于消除代数中的行列式、结式等计算性的概念，而华罗庚是以矩阵计算见长，绝非韦伊所欣赏的风格。
即便是本科生的线性代数教学，也留下了阿廷清晰可见的印记：他在我们面前从来绝口不提基和行列式。阿廷的盟友，谢瓦莱和韦伊，竭尽全力将行列式和结式驱逐出代数。
在这方面，韦伊和谢瓦莱的先驱，正是罗塔这里所提到的阿廷。荷兰数学家范德瓦尔登曾根据阿廷和诺特的讲义，写成抽象代数的经典名著《近世代数》，此书直接刺激了布尔巴基学派的诞生。
眼下这本《线性代数应该这样学》，可以说，基本上是按照《有限维向量空间》的精神写的一本新书。这毫不奇怪，作者是圣弗朗西斯科州立大学数学系的教授阿克斯勒。他是哈尔莫斯的徒孙，中间的链接是萨拉森。阿克斯勒写作这本书，可以追溯到他在1995年发表在《美国数学月刊》上的一篇阐述性文章《打倒行列式！》，该文次年获得了美国数学协会颁发的Lester R. Ford写作奖。
阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。如前所说，线性代数的教学分两派：一派注重代数计算，以华罗庚先生为代表；一派注重几何直观，以哈尔莫斯为代表。虽然我本人经受的课堂训练是偏计算的，然而只是在后来用哈尔莫斯的《有限维向量空间》重新学了一遍线性代数以后，我才敢说我对线性代数有了一点底气。
代数计算将线性代数机械化了，同时也变得有点无聊。要想让线性代数生动起来，除了介绍一些精彩应用的例子外，一个可行的办法是强调几何的语言。几何的语言，自然是相对于代数的语言而说的。简单讲，就是用线性变换代替矩阵，用抽象向量代替列向量。几何语言的优点是简洁明快，例如“作用”这个词给人的感觉就是如此。代数语言的好处是具体清晰，两个矩阵“相乘”在我们头脑中的图象，是一系列具体运算的运作。
通常的教科书往往过分强调了代数的语言，这同时也充分暴露了其诸多弊端。
我要指出，我这里并非说代数计算不好，我想强调的是，要尽可能在几何直观的指引下做代数计算。我觉得借用阿廷在其名著《几何化的代数》中的一句话来评论阿克斯勒的《线性代数应该这样学》再好不过了：我的经验是，一个用矩阵进行的证明，如果你抛开矩阵的话往往可以使这个证明缩短一半。有时，这一点是办不到的，你需要计算一个行列式。
我将阿克斯勒的这本书郑重推荐给所有想重新从几何的观点看待线性代数的朋友，所有想从零开始学习线性代数的朋友。
下面我们简单介绍一下本书的内容。全书共十章，其中三章讲向量空间，一章讲多项式，六章讲线性映射。第一章讲向量空间，从经典的维实列向量空间与维复列向量空间出发，引出线性空间的一般概念。向量空间是线性代数演出的舞台。
第二章讲有限维向量空间，维数是向量空间的基本不变量，借助基与坐标映射可以给出抽象向量空间到列空间的同构。第三章给出线性映射的基本概念。线性映射是向量空间之间的自然映射，在基底下体现为矩阵。给定一个线性映射，就诱导出两个重要的子空间，核空间与像空间。
线性映射的基本定理给出了这两个子空间的维数关系。这样一个定量关系，其实可以用线性方程组的基本定理来描述。
这个基本定理只是对线性映射给出了最粗略的描述，为了更精细地观察线性映射，我们需要将它分解为简单的线性映射。为此，一个有效的工具是多项式，这是第四章的主题。线性变换作用于有限维向量空间时，一定存在多项式，使得。这样的零化多项式可用于研究。例如，的分解就对应给出不变子空间分解。在最理想的情况，若分解为不同的一次因子的乘积，则就分解为特征子空间的直和。
第六章讨论内积空间。
内积空间中因为赋予了可以度量长度、角度等几何观念的内积，从而拓展了中学阶段所熟悉的平面向量和空间向量的几何知识，例如勾股定理、正交投影等。但这不只是简单地重新唤醒我们的记忆，让我们将向量几何从二维三维推广到高维；现在有了前面关于向量空间与线性映射的概念，自然我们就要问，内积空间的不变量如何刻画？这就自然引出正交变换的概念，最终我们发现，原来正交变换就是我们中学所学习的全等概念的实质。
第7章的主题是谱定理，主要的结果是内积空间上的对称变换可正交分解为一些伸缩变换的直和。这是线性代数最核心的结果。第8章讲复向量空间上的线性变换的标准型，第9章讲实向量空间上线性变换的标准型，它们都是线性代数中的经典结果。第10章是迹与行列式，这是线性变换的两个基本不变量。行列式比迹要复杂，所以放在后面。
本书的前两版曾在美国近300所院校作为教材使用，作者因此收到了成千上万条反馈意见，可以想见，第三版将何等卓越。预祝你们阅读愉快，有疑问不妨直接与作者联系，据我的经历，阿克斯勒非常欢迎读者给他提意见与建议。