如何读好数学书？

如何读好数学书？

李天岩教授经过在台湾和美国长期的书本学习和研究实践，已经总结出宝贵的读书妙法。我也在过去几十年的读书生涯中，结累了一些“读好书”的心得体会。离开师门长达三十年，我和他的师生之缘不仅没有褪色，而且不断增添光彩，其中的一个关键要素是我们对关于人生、学习、教书、研究、演讲等的许多问题有着几乎一致的看法，也遵循着我们都强烈认同的行动准则。

这一章所重点谈论的“怎样学数学”，固然是对李天岩教授一生读书研究的一个概括，其实也穿插着我对读书学习的点滴理解。

我们师生都深刻体会到学好数学的最重要法宝就是对概念的精通。其实这也是我的大学同班同学中那些数学学得透彻的一部分人的共同体会。在数学中，一个新的概念的定义必然用到其他概念，而属于它的命题不外乎是关于概念的性质、用途或与其他概念的关系。

在一个命题的叙述中，所有涉及到的概念都必须已被明确而清晰地定义，否则即便天才也看不懂这个命题。故在它们的证明中，所碰到的数学概念无处不在。因此一碰到某个概念，就应该在脑海里浮现出关于它的完整图像。

看懂证明并能上升到学会证明是读数学书的关键步骤。

李天岩教授对学数学最反感的做法就是背诵证明却缺乏理解，所以如果他的学生要给他报告一个定理的证明时，他绝不会让你证明一般结论，而是叫你证明具体的简单情形，察看你是否真的搞懂了。他对学生不仅这样要求，也身体力行地示范之。在他晚年接近正式退休时，他应邀为系里的几个来自祖国的访问学生讲解他关于“连续函数周期三点存在隐含周期n点存在”的证明，其中的一个学生许士坦现在是该系正式录取的博士研究生。

做习题是学数学过程中不可或缺的一环，但是科学地做题不仅节省时间，而且能事半功倍。我读大学时，全国的数学系学生做白俄罗斯籍数学家吉米多维奇的《数学分析习题集》蔚然成风。这本书对培养人的推理能力功不可没，甚至可以说不亚于当年数学生几乎人手一套的多卷本课外参考书、苏联数学家菲赫金哥尔茨的名著《微积分学教程》。我的同班同学田刚在本科阶段大概做了两万多道习题，打下了他后来出色数学人生的基础。