我们世界中的材料千变万化，丰富多彩。要想系统地理解这千千万万各种各样的材料，我们需要一些指导性原理、来开发描述这些材料的理论。以前的一个重要指导原理、就是朗道的对称性破缺理论。他指出材料的很多重要性质、取决于材料中的对称性。近二三十年来对量子材料的研究取得了很多进展。我们发现朗道的对称性破缺理论完全不够用。因为量子材料中有很多量子纠缠，而材料的量子性质，主要起源于这些量子纠缠。
这样我们就需要一套全新的理论，如拓扑序理论和张量范畴理论，来描写这些量子纠缠的构型。这些理论都很有挑战性，而且起点也很高（见头条叶鹏的文章）。
可自然界中有很大一类材料，其中电子的相互作用并不重要，甚至可以忽略。这些材料中量子纠缠的构型，可以通过无相互作用电子能带，特别是能带的各种各样的拓扑性质来决定。我们知道能带的结构，是由电子在材料中所满足的各种各样的波动方程来决定的。
对能带拓扑结构的研究，实际上就是对电子波动方程的拓扑结构的研究。相对于强关联电子的问题，这是一个简单得多的问题。最近几年，物理学家在这方面取得了很大的进展，使我们几乎可以完全系统的理解和计算、各种无相互作用电子材料的各种各样的拓扑性质。这些进展使我们能够发现和预言成千上万个有不同性质的拓扑材料，并展现其丰富多彩的拓扑性质。这篇文章，成文于这些进展的推动者，其详细系统地介绍了这方面最新的进展和成果。
对于想了解和进入这一研究领域的学生和研究人员应该会很有帮助。
拓扑原本是一个数学概念，表示一类由系统整体决定而随细节不敏感的性质。这个概念融入到凝聚态物理归因于量子霍尔效应的发现。1980年Klitzing等人发现了二维电子气在强磁场中霍尔电导展现出不依赖于样品细节的量子化平台。人们发现其中的相变不涉及任何对称性的破缺，脱离了朗道相变理论的范畴。
1982年Thouless等人推导了二维电子气中的霍尔电导公式，并且将它与拓扑不变量——第一类陈数(∈ Z)联系起来，成功地解释了量子霍尔电导的鲁棒性。这一工作开创性地将数学中的拓扑概念应用到固体晶格动量空间中波函数性质的研究，是数学与物理相结合的一大典范。自此凝聚态中的拓扑性质受到广泛关注。
6年后，Haldane发现在六角晶格中加入交错磁通也可实现量子霍尔效应，表明在凝聚态晶格体系中存在无朗道能级的量子霍尔效应。但是实现量子霍尔效应需要施加巨大的外磁场，这大大地限制了它在实际器件中的应用。这个方向近年来的一个重大突破是“量子自旋霍尔绝缘体(即二维拓扑绝缘体)”的发现。
这一里程碑性的工作由美国宾夕法尼亚大学的Kane和Mele以及美国斯坦福大学的Bernevig，Hughes和Zhang分别在石墨烯以及HgTe/CdTe量子阱中完成，推动了拓扑量子物理成为凝聚态物理的前沿和主流。与量子霍尔效应不同，量子自旋霍尔效应无需外磁场，受到时间反演对称的保护，对应的拓扑不变量是Z2拓扑不变量 (只能取0或1)。
此后人们进一步将二维拓扑绝缘体推广到三维，得到了三维拓扑绝缘体。三维拓扑绝缘体的拓扑不变量是4个Z2数：(ν0；ν1，ν2，ν3)，其中第一个不变量表征材料是否为强拓扑绝缘体，后面三个表征材料是否为弱拓扑绝缘体。强拓扑绝缘体在任何面上均具有奇数个Dirac点，表面态不受无序影响，而弱拓扑绝缘体只有在特定表面才具有拓扑表面态。