William Thurston（昵称Bill）是1982年数学界最高奖菲尔兹奖得主，2012年去世。他的数学研究就像进行魔术表演，总是突然就从帽子里抽出绝妙的创意，无数次让世界范围内的数学家们惊叹不已。1970-1980年间，Thurston的研究工作在拓扑学领域引起了一场翻天覆地的革命，对数学界的影响一直持续到现在。
Dennis Sullivan是2010年数学界另一个大奖沃尔夫奖得主，在代数拓扑和复动力系统两个领域为数学界作出深刻的贡献。Thurston和Sullivan的研究有着很大的交集。当Sullivan得知Thurston去世的消息后，他迅速写下了这十个记录他们之间来往的故事。
故事一
1971年12月，在伯克利召开的一个动力系统研讨班结束的时候，貌似解决了一个能很好地应用于动力系统的平面上的棘手问题。解决方案宣称：能把N个两两位置不同的点逐步移动到另外的N个点，使得在移动过程中不发生自交，并且每一步都整体只移动非常小的距离。
坐在前排的资深动力系统专家们都乐观地相信这个结果，因为根据之前的经验，在三维以及更高维数的动力系统的应用中，由于这些点能摆成一般位置，这个结论显然是对的，如今该定理在二维的情形也应该成立。
一个坐在教室最后排的长头发、大胡子的研究生站了起来，说证明中的算法是不成立的。他就是Bill Thurston。他怯怯地走到黑板前面，画了两幅图，每幅图都有7个点。然后开始按照刚才的算法来操作。
一开始出现的连线尽管很短很少，但毕竟挡住了另外一部分线的延伸方向。想把另外一部分线继续延长又同时避免出现交叉的话，必须从别的地方绕回来，于是各条线开始变得越来越长。在这个复杂的图示例子里，刚才的算法无效！我从未见过其他人有如此强的理解力，也从来没见过有人能如此之快就创造性地构造出反例。这让我从此对几何上可能出现的复杂性产生敬畏。
故事二
几天之后，伯克利的研究生们邀请我（那时我也同样是大胡子、长头发）在分隔办公区与电梯区的走廊墙壁上画一些与数学有关的壁画。就在准备画的时候，故事一里面提到的那位研究生跑来问我：“你觉得画这个东西有意思吗？”他给我看的是平面上围着三个点绕来绕去的一些复杂的一维对象。我问：“这是什么？”他的答案让我很惊讶：“它是一条简单闭曲线。”我说：“这一定很有趣！”于是我们就开始花几个小时一起在墙上画这条曲线。
这真是一次非常棒的学习如何粘贴的体验。为了让这条曲线看起来较美观，首先得画一些较短的、彼此平行的、有些弯曲的短线（正如叶状结构局部方形邻域内的图案一样），然后再把它们光滑地接起来。
故事三上面两个故事在伯克利发生的那个星期，其实我只是从麻省理工学院访问伯克利，讲一系列关于微分形式和流形同伦论的课。
那时候叶状结构与微分形式到处出现，并且成为研究的热潮，我想利用在我的研究中出现的1-形式来描述基本群的中心下降序列，进而构造叶状结构。这些叶状结构的叶子覆盖了从流形到它的幂零流形的映射图像。幂零流形就是从基本群的高阶幂零子群出发构造的流形。这其实是把利用同调来构造的到高维环面的Abel映射推广成幂零的情形。
由于缺少Lie群的知识，我曾向麻省理工学院和哈佛大学的微分几何学家们请教这个推广的可能性，但我自己还是没弄明白。这些都太模糊、太代数化了。
来到伯克利之后，我在第一次课上就提出这方面的问题，并私下里与Bill进行讨论。开始我并没有抱什么希望，因为这是奇怪的代数与几何的混合体。然而第二天，Bill就想到了彻底的解决方法，并且给出了完整的解释。对于他来说，这些只是很初等的东西，涉及的几何知识也不多，仅仅是Elie Cartan的dd=0的对偶形式中的Jacobi关系。
故事四
普林斯顿高等研究院，1972-1973
在1972-1973这段时间，我从麻省理工学院访问普林斯顿，于是与Bill接触的机会更多了。一天，我们从普林斯顿高等研究院出来准备去吃午饭。我问Bill，什么是极限圆（horocycle）。他说：“你们待在这儿别动。”然后他开始向学院的草地走去。走了一段距离，他停住并转过身来，说：“你们在以我为圆心的圆周上。”然后他转身走得更远，再次转过身来说了一些东西。由于距离远，他说什么我已经听不清楚了。
他每走到一个新的地方就再喊一次，我们终于知道他说的是同样的意思：“你们在以我为圆心的圆周上。”接下来他走得更远了。由于距离太远，他喊什么我都听不见了。等他转过身来使劲喊大概同样意思的时候，我忽然知道了什么是极限圆。
故事五
普林斯顿大学，1976年秋1976年9月，我准备去普林斯顿大学学习一维动力系统，而Thurston则已经发展出曲面映射的新理论。
我刚到的时候，他在高等研究院做了三个小时精彩的即兴演讲来解释这个理论。我非常幸运：因为有之前在伯克利的墙上画那条曲线的艰苦劳动，由此启发，Thurston关于叶状结构的极限的主要定理直观上对我来说非常清晰。在我待的那个学期即将结束的时候，Thurston告诉我，他相信这些东西对应的映射环面具有双曲度量。我问他为什么，他说不知道如何向我解释，因为我没有充分理解微分几何。
在我离开普林斯顿之后的几个星期里，Bill没有我的干扰，有更多时间从事研究。对于特定的Haken流形，他完成了双曲度量存在性的证明。而对于映射环面的情形，他后来又花了两年多的时间。其中的细节本文后面会说。后来Sullivan在课上讲解带很“薄”的部分的双曲曲面。
故事六
石溪会议，1978年夏
在石溪举行了一次关于Klein群的盛大会议。Bill出席了会议，但没有发言。Gromov和我邀请他即兴做一个计划之外的长时间的报告。这是一场通向双曲三维流形无穷远端、凸包、皱褶曲面、ending lamination等等的美妙旅程。在报告的过程当中，Gromov凑过来跟我说，Bill这次报告使他感觉这个方面的研究还没真正开始。
故事七
科罗拉多，1980年6月至1981年8月
Bill和我一起在Boulder大学做Ulam访问教授，在那里举办两个讨论班：一个较大的讨论班是把整个双曲性定理的全部证明细节过一遍，另一个较小的讨论班是关于Klein群的动力系统以及一般性的动力系统。参加第一个讨论班的许多研究生们共同检查了双曲性定理的全部证明细节。有一天，在动力系统的讨论班上，Thurston迟到了。
Dan Rudolph正在精力充沛地对一个以往证明过程极度复杂的定理作简化证明。这个简化的证明在一小时之内就能讲完。
故事八
美国加州La Jolla与巴黎，1981年夏末在科罗拉多的经历很愉快。Thurston的几何讨论班在完全放松的氛围中度过。某一天我们构想出了8种几何模型，另一天我们为某个对象究竟应该命名为“manifold”还是“orbifold”而投票。
我也正在写几篇我自己的关于Hausdorff维数、动力系统、极限集的测度的论文。接下来的夏天末尾，Thurston回到普林斯顿。我则从巴黎飞到La Jolla，给美国数学学会做一系列关于动力系统最新进展的特邀报告。
故事九
巴黎，1981年秋
我在美国数学学会的演讲大获成功之后，Bill来巴黎访问我。我在私人办公室买了个舒适的沙发床，以便于他休息。他很有礼貌地问了我以下两个问题：一、如果之前在美国数学学会的演讲上没有把报告的主题换成他的双曲性定理的话，我原定计划讲的是什么内容；二、在科罗拉多，除了双曲性定理的讨论班之外，我似乎还在一直忙着别的东西，具体是在研究什么。
故事十
从普林斯顿到曼哈顿，1982-1983
由于开始了长达13年的纽约市立大学Einstein研讨班的主持职务，我不得不把时间分配开，一直在法国高等科学研究院和纽约市立大学研究生中心之间来回奔波。Bill则继续发掘和训练有天赋的学生，传播双曲空间那些漂亮的理论，培养出大批新一代年轻的几何学家。Bill推迟写他那关于双曲性定理论文的终稿。取而代之的，是让他不断培养起来的越来越多的新一代几何学家们把整套理论发展到更加广阔的天地中去。