19世纪的代数学家发现的新的数学对象（矩阵、代数、群、簇等）开始被数学家们运用到他们的研究工作中，他们把这些新数学对象作为解决几何学、拓扑学、数论和函数论等其他数学领域中的问题的工具。法国数学家庞加莱最先将拓扑学的思想代数化，成为代数拓扑的创始人。而他的传人布劳威尔，更是一位非常有想法的哲学家——直觉主义的创始人。
拓扑学通常被叫作“橡皮几何学”。
想象一个二维曲面，例如球面，假设它是由某种可伸缩的材料制成的。这个橡皮球面可以通过拉伸或挤压变换成其他任意与球面“相同”的曲面，这就是拓扑学家关心的东西。为了让拓扑学具备数学的精确性，你需要再制定一些规则，例如切割、黏合、把一个有限区域“挤压”成一个没有维度的点，或者允许这个橡皮曲面可以像雾一样穿过自身，这些规则在不同的应用中略有不同。不过在这里，这种宽泛而熟悉的定义已经足够了。
直到19世纪末，拓扑学都没有显示出与代数有多大关系。事实上，它的早期发展非常缓慢。“拓扑”这个词最早是哥廷根数学家约翰·利斯廷（Johann Listing，1808-1882）在19世纪40年代使用的。利斯廷的很多想法都似乎来自高斯，他与高斯关系很密切。然而，高斯从未发表过任何与拓扑相关的文章。
1861年，利斯廷描述了一个单侧曲面，现在我们称之为莫比乌斯带；莫比乌斯在四年后也写下了关于这个曲面的文章，由于某些原因，正是他的介绍才引起了数学家们的注意。尽管现在为其正名为时已晚，但是我还是将图14-1标记为利斯廷带，为利斯廷恢复一点点公正。
1895年，一位才华横溢的法国数学家把这些想法代数化，这位数学家就是巴黎综合理工学院的亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）。
庞加莱是这样陈述的：考虑一个曲面上的所有可能的若尔当闭路，即起点和终点相同的所有路径。令这个基点固定不动，把所有闭路分成若干集族，如果一条闭路能够光滑地变形为另一条闭路，那么这两条闭路就属于同一个族，即它们是拓扑等价的。考虑这些族，无论它们有多少。两个族的合成定义如下：首先经过第一个族的一条路径，然后再经过第二个族的一条路径（选择哪条路径无关紧要）。
1904年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想，断言上述问题的答案是肯定的。直到2005年末，这个猜想既没有被证明，也没有被推翻。在发表于2002年和2003年的一系列论文中，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigory Perelman，1966-）证明了它是正确的。当我在写这本书时（本书英文版出版于2006年5月），数学家们仍在评审佩雷尔曼的工作。
根据这些评审报告的非正式报道，越来越多的人认为佩雷尔曼实际上已经证明了这个猜想。庞加莱猜想是七个千禧年大奖难题之一，解决其中任何一个问题都将获得美国马萨诸塞州剑桥市的克雷数学研究所提供的100万美元奖金。