从费马大定理开始，一副关于整数的画卷徐徐展开，这就是代数数论。300余年过去，我们仍望不到尽头，反而看到了更宽广的世界。数论是一门研究整数的学科，但其所用到的工具却遍布整个数学世界：你可以把整数看作一个环，或者看作实数或复数的子集，也可以看作进数的子集……每一次转换视角，往往带来的都是一个崭新的世界。可以说，整数就是数学中的冰山一角，而今天我们要讲的代数数论，正是其背后的一座冰山。
代数数论的诞生要追溯到费马（Pierre de Fermat，1607-1665），他被认为是近代数论的奠基人。作为一个从未发表过关于数论著作的数论学家，费马关于数论的工作得以流传下来很大一部分归功于他在丢番图（Diophantus of Alexandria）的《算术》（Arithmetica）一书中的评注。
如果直接去看这48条评注，你可能会觉得它们都是一些孤立的命题，而费马当时所用到的论述也并没有超出初等数学的范畴——毕竟“群环域”都是19世纪的产物。
我们来看一看其中一条命题：若为奇素数，且，则存在整数满足。例如。但如果这个奇素数，则不存在这样的。这个神奇的结论把素数的同余性质和方程的整数解联系在了一起。但我们不能满足于表面：要认识一个事物，首先得祛魅。
费马写下的一些命题中，很多都与这样的“分解”有关。比如要证明 Pell 方程：正整数不是平方数时，有无穷个整数解，则可以把这个式子写成这样就能考虑了。这个问题实际上是在问中有多少个可逆元（比如说中的可逆元就只有）。而这个可逆元的集合（即单位群，因为环中的可逆元又称为单位）可以用来算出来。
要是没有代数数论，以上工作都会变得异常复杂。比如方程感兴趣的读者可以试试用程序遍历来找整数解，需要运行很久才能找到第一个，因为它最小的解长这个样子：但是费马却说这样的解有无穷个。这对于初等数学来说确实有些为难了。若使用狄利克雷单位定理，我们就能具体算出，存在某个元使得（当然，这个的任何次方都不等于），这样，满足 Pell 方程的整数就有无穷个。
像这样的命题还有不少，可以说费马的眼光确实独具一格，这也是为什么即便他的很多命题都没有留下证明，仍有诸多后人希望从他的笔记中理解其思想。经过欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）等人的努力，到了19世纪，这些命题中的大部分都得到了严格证明，除了最后一个——费马大定理，英语中称之为“费马的最后定理“。
费马大定理（那时应该叫猜想）是说，当时，方程不存在 的解。这个定理只需要对于以及奇素数证明就行了，因为如果对于得证，那么对于的倍数也得证了。的情况由费马本人证明，其方法相当初等，只是有些麻烦。所以我们现在可以认为是奇素数。后来欧拉，勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）等人又证明了时的情况。
在看过了上面几个例子之后，似乎应该试一试把这个方程作分解。
德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）就是这么想的。他把方程改写为其中。这样，左边和右边都是个相乘。库默尔证明如果环是 UFD 的话，那就可以得到费马大定理。但是事情并没有那么简单。库默尔的计算能力非常强，他发现当的时候，是 UFD，但是对于下一个素数，也就是并不是 UFD。
库默尔甚至猜想时都不是 UFD，这一猜想一直到1976年才得到证明，用到的方法自然是库默尔的年代没有的。
不过的存在已经说明，素元分解这种方法并不是普遍适用的。但是库默尔并不甘心就此放弃：他发现，虽然素元分解并不一定唯一，但是存在某种“理想数”的素分解一定唯一。库默尔的原始工作在今天看来很难理解，而理想理论（Ideal theory）要变成今天我们学到的样子，还是需要另一位大数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）。
戴德金的数学思想非常超前，比如他给出的实数定义（戴德金分割）在今天仍然是大学生必须掌握的。但是在一百多年前，数学家们尚不能接受无穷集合的概念，可想而知，戴德金的数学对于大多数人而言就过于抽象了。不过历史证明，正是这些抽象的理论把数学带到了20世纪。
戴德金发现，库默尔的理想数其实并不是一个数，而是环的一个子集。我们接下来就来概述一下这套抽象理论，读者可以记住最典型的例子。最开始，我们只知道一个对象，那就是整数环。从这里可以抽象出环的概念——指一个具有加减乘运算的集合。不过这个环比较特殊，它的两个非零元相乘，结果也是非零元，有这条性质的环被称为整环。之所以需要整环这个概念，是因为存在大量非整环，不过我们目前不需要用到，所以可以暂时抛在脑后。
要是允许中的非零元做除法，就会产生一个新的集合，即有理数域（域是存在加减乘除的集合）。这个操作叫作取整环的分式域，这个词很好理解，就是允许分数的存在。在前文中所提到的是 的扩张，但是环的扩张并不好处理，不像域，域的扩张其实是一个向量空间，这就意味着可以用线性代数来研究域，所以一般想往中添加元素的时候，我们都会先考虑的域扩张。在这里就是。（一般用圆括号表示添加元素之后生成的域，而方括号表示生成的环。
）
现在，起我们记是 的某个有限扩张（就是说作为有理数系数的向量空间，是有限维的），称为数域，而中的整数环记作，称为数环。至于怎么定义 的整数环，这里没有必要赘述，大家就想象是之于或者之于就行了。所谓理想，就是环中的一个运算封闭的子集，它即便乘上外边的元素，得到的结果也仍然在中。
典型的例子是 的子集，也就是所有 的倍数组成的子集，上面的性质也很容易验证，因为 的倍数不论乘上多少，结果仍然是 的倍数。在这里，我们就能把这个理想分解了：这个看起来跟中的素数分解没什么区别。这些我们称它为素理想，而且它们刚好是由一个素数生成的。但这并不是其本质性质。素理想 的定义如下，它满足条件：若，则中起码有一个属于。而库默尔的工作表明，中的理想一定能分解为素理想的乘积！
这是一项惊人的发现，直接导致数论的研究重点从数字转移到了集合。
如今的数学专业学习抽象代数，并不一定会学到以上内容。今天我们习惯从抽象的环讲起，而一般的环是不能进行素理想分解的。不过理想这个概念也相当自然：就如同正规子群之于群一样，要获得环的商结构，就必须考虑环的理想。
这些一般理论要等到哥廷根学派的诺特（Emmy Noether，1882-1935）等人来建立，但即便是诺特本人也承认，她的需要工作都起源于戴德金的研究。今天我们把这些像数环一样能进行素理想分解的环称为戴德金整环，他将出现在每个数论人的入门第一课中。
抛开那些数环以外的环，回到我们的问题。定义理想并不是理论的终点。有理数其实也是可以分解的，只要允许素数的次方为负就行。
那如果允许素理想分解的系数为负呢？这样我们就得到了分式理想的分解。分式理想的定义这里也不打算赘述，读者类比中的理想，其分式理想则形如。不过分式理想的素理想分解并没有那么惊人，真正有趣的地方在于分式理想与费马大定理之间的关系。为此，我们需要引入理想类群的概念。
作为戴德金整环，数环有这么一个性质：是 UFD 当且仅当它是主理想整环（Principal ideal ring，以下简称 PID），就是说它的所有理想都是由一个元素生成的（用分式理想定义是一样的），而这种由一个元素生成的理想叫作主理想。那么，要看能不能做素元分解，其实就是看它有多少个理想不是主理想。定义所有分式理想组成的集合为，所有主理想构成的集合为，理想类群就定义为它们的商群。
这个定义的意思就是说，如果一个分式理想乘上一个主理想得到了另一个理想，那我们认为这两个理想是同一类。可以看到，如果是 PID 的话，则是个平凡群。这样，理想类群就可以用来表征 ”偏离素元分解“ 的程度。神奇的是，理想类群一定是有限的，这个有限的数字称作类数。记住这个数字，它马上就会大显身手。
回到费马大定理。对于数环而言，我们记其类数为。库默尔证明，只要不是的因数（即），那么费马大定理对于成立。在此基础上他还得到了一些更加具体的判别方法，并借此证明以内的都成立。可以说这是数学史上费马大定理第一次取得本质性突破。库默尔的确远超时代，在他做出这些工作都同时，他的法国同行还在纠结于的证明。
不过即便如此，库默尔和戴德金也没能证明费马大定理。库默尔把满足的素数称为正规素数。那所有素数都是正规的吗？答案是否定的。20世纪的数学家们证明，非正规的素数有无穷多个，并且直到今天，我们也还不知道正规素数是否无穷。
以上内容大概就是经典代数数论在19世纪取得的主要成果。数学家们非但没能就此解决费马大定理，反而提出了更多的问题，比如：如何得到理想类群的结构？如何计算类数？
库默尔等人的研究还涉及到的进数，函数等概念，它们直到今天仍然换着花样让数学家们掉头发。而环论与理想所带来的抽象代数，不仅成就了代数数论的，也带来了现代代数几何。从格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014）开始，代数几何学家们考虑的几何对象甚至不一定是代数曲面，而仅仅是素理想组成的集合。而这套几何语言又反过来滋补数论，以至于今天的数论学家，没有哪个不学代数几何。
费马大定理最终的证明，用到的是椭圆曲线与模形式的对应，这些内容毫无疑问是19世纪的人完全无法料到的。而椭圆曲线相关的数学，也为代数数论提供了有力的武器。上世纪80年代，两位数学家亨利·科恩（Henri Cohen，1947-）和亨德里克·伦斯特拉（Hendrik Lenstra，1949-）提出了一些猜想。
他们认为，虽然具体的理想类群难以求出，但是反过来：如果给定一个阿贝尔群（就是运算满足交换律的群），那它正好对应某个理想类群的概率有多大呢？他们通过计算，猜想了一些可能的结果，但是几十年来进展甚微。如果这些猜想得到证实，便能带来大批有趣的结论，例如1993年 Peter Stevenhagen 据此提出了另一个与之密切相关的猜想：对于属于某个无穷集合中的整数，负 Pell 方程有解的概率大约为。
这个数字看起来没头没脑的，但的确是科恩与伦斯特拉猜想的产物。当时 Stevenhagen 或许只是想看看这些猜想能把数学带到哪里，而并没有想过有什么证明的头绪。
Stevenhagen 的猜想最近取得了突破。Stephanie Chan，Peter Koymans，Djordjo Milovic 以及 Carlo Pagano 四人最近证明了上述概率的下确界不小于，这已经是从无到有的突破了。
他们用到的工具就包括了前面提到的椭圆曲线，而这项工作很大程度上又受到几年前 Alexander Smith 的启发。这些内容都已经不仅仅是代数数论，而是更加庞大的现代数论中的一环。对于这些新的内容，我们会在今后的文章中向大家介绍。
在今年的秋雨与狂风中，Stevenhagen 教授仍将站上讲台，为荷兰数学生讲授代数数论。他也像库默尔那样，精于计算又熟悉抽象，包括他的讲义也总是会着重于具体的计算方法。这或许是荷兰数学的一个缩影。Koymans 和 Pagano 几年前都曾是莱顿大学的研究生，而 Stevenhagen 和 Lenstra 则是莱顿大学的教授。看到荷兰数学界新人辈出，他们也一定非常欣慰。