数学的目的是并不是证明几个孤立结论，而是探索未知的逻辑关系。就这层意义上说，Langlands 纲领或许是近几十年来最重要的数学成果——即便它只是一些未经证实的猜想。Langlands 纲领源于 1967 年加拿大裔美国数学家 Robert Langlands 写给著名法国数学家 André Weil 的一封信，在这封信中，他建立了表示论/自守形式与代数数论中 Galois 群的联系。
如今，由此生出的数学理论已经涉及到数学的方方面面，甚至有几何 Langlands 纲领涉及物理学中的规范场论。让我们跟随女数学家 Ana Caraiani 的脚步，一窥数学的大一统理论。
Ana Caraiani，站在帝国理工学院附近的 Serpentine 桥上，从事数学研究，为该领域里遥远的分支架起桥梁。
她所从事的研究被称为 Langlands 纲领，由加拿大数学家 Robert Langlands 于上世纪 60 年代建立。这是当今数学界最为庞大，最富野心，同时也是最具挑战性的任务。Caraiani 现在担任伦敦帝国理工学院教授，同时获得了皇家学会大学研究奖学金。她从来都不回避任何挑战。
Caraiani 在普林斯顿大学的本科毕业论文由安德鲁·怀尔斯指导。
怀尔斯是一位著名数学家，1994 年，就是他证明了费马大定理。这位名声在外的学者交给学生的问题自然困难重重，而 Caraiani 并没有她导师当年的运气。不过，虽然并没有取得显著的进展，她也不曾气馁。在做毕业论文的过程中，她学到了很多数学研究的方法。Caraiani 后来进行了非常广泛的合作研究，目的是将数学的各个不同领域联系在一起，而做毕业论文的经验让她受益匪浅。
Caraiani 致力于当今最雄心勃勃的数学项目之一，即 Langlands 计划。这是一项高度协作的努力，她经常与帝国理工学院的同事在 Dalby Court 会面。她对 Quanta 杂志讲述了她追求数学的经历以及研究 Langlands 纲领的工作，而后者可以理解为“通向数学大一统理论之路”。
Caraiani 说，“这个题目的重点不一定是解决这个问题。我认为怀尔斯在教我，不应该把所有的时间都花在你知道如何做的事情上。那些真正困难的问题值得花时间去解决，只是可能真的太难了。”她意识到，其实相比大多数同行，她一直很幸运，现在也已是小有名气。不过她还是觉得，数学界并不像它应有的那么包容——不仅仅是对于女性，对其他弱势群体也是一样的。
Caraiani 对 Langlands 纲领的吸引力在于，它从本质上说是给数学的不同分支建立联系。她喜欢数学的所有分支——数论、分析、几何、拓扑等——如果她做 Langlands 纲领的话，就不必将自己的研究限制在任何分支中。她和同事们所做的工作，就是在不同数学分支间搭起桥梁。具体来说，桥的一边是 Galois 群与 Galois 表示，另一边是模形式与其推广。
数学家们已经意识到 Taylor-Wiles 方法对局限性：它针对 2 维情况效果良好，但在 3 维就失效了。2012 年，Frank Calegari 和 David Geraghty 想到了一个改进方法，以适用 3 维情况。然而他们表示，要让这个方法起作用，首先得解决他们提出的三个猜想。
我的同事 Peter Scholze 在 2013 年解决了第一个猜想；这个猜想建立了第一座桥——从模形式到 Galois，这座桥远比原来的 2 维情况要宽的多，这样才能与 3 维情况下出现的新现象相容。
在 2015 年年底，Scholze 和我意识到，我们最近的工作可以用来解决第二个猜想，要是这个猜想得到证实，就能精确控制这座桥着陆的位置。虽然这个方法失败了，但是我们又想出了很有希望的新方法。
这时，Taylor 建议我们在普林斯顿高等研究院组织一场研讨会来完善我们的工作，想办法解决第二个猜想。我们已经解决了第二个猜想这个目标，并且找到了一个方法来绕过第三个猜想。我们建起了反方向的桥——由 Galois 到模形式的 3 维情况。这让我们成功越过了 Taylor-Wiles 方法失效的障碍。而且这座桥不单单是对 3 维，对任意维也是有效的。
现在你又在做什么研究呢？
我们对 Calegari 和 Geraghty 的第二个猜想，只在两种特殊情况下做出了证明。现在我正在与之前 10 位合著者之一的 James Newton 合作，想办法在最一般的条件下证明这个猜想。我还是对第三个猜想很感兴趣，即便我们之前绕过了它。它预测了志村簇的某些性质，而我对此兴趣浓厚，希望今后能对它有更深的了解。另外，还存在某些情况，我们对于如何造桥一无所知。
在我们的领域中一个重大的目标就是在尽可能一般的条件下造桥，比如使用任意数系上的多项式。这样我们就能扩展 Langlands 纲领的研究范围。
我并不认为 Langlands 理论有一天能解释所有数学，不过我还是认为，它起码能触及数学的所有方面。Robert Langlands 的确高瞻远瞩。他在几十年前建立了一整个网络的猜想，而这个领域的范围也逐步扩大。我们跨过的桥越多，能提出的新猜想，能前往的新目的地也更多。似乎这些取得的进展，都是为了让我们看到前方更为广阔的天地。我并不认为任何人会期待这个纲领走向终结。