为什么要进行傅立叶变换？

本⽂对于感性理解傅⽴叶变换很有帮助，作者⽤通俗易懂的⽅式介绍了傅⽴叶变换的基础内容，以及图像傅⽴叶变换的物理意义。据称这是作者在读过Steven W. Smith的著作《实⽤数字信号处理：从原理到应⽤》后受启发⽽写成的。要理解傅⽴叶变换，需要耐⼼。

关于傅⽴叶变换，⽆论是书本还是在⽹上可以很容易找到相关描述，但⼤都是些故弄⽞虚的⽂章，太过抽象，尽是⼀些让⼈看了就望⽽⽣畏的公式的罗列，让⼈很难能够从感性上得到理解。最近，我偶尔从⽹上看到⼀个关于数字信号处理的电⼦书籍，是⼀个叫Steven W. Smith的外国⼈写的，写得⾮常浅显，⾥⾯有七章由浅⼊深地专⻔讲述关于离散信号的傅⽴叶变换。

让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？

傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)，Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学院展示了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。

当时审查这篇论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇和拉普拉斯，当拉普拉斯和其他审查者投票通过并要发表这篇论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表示带有棱⻆的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。法国科学院屈服于拉格朗⽇的威望，拒绝了傅⽴叶的⼯作。

幸运的是，傅⽴叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国⼤⾰命后因会被推上断头台⽽⼀直在逃避。直到拉格朗⽇死后15年，这篇论⽂才被发表出来。

根据原信号的不同类型，我们可以把傅⽴叶变换分为四种类别：⾮周期性连续信号：傅⽴叶变换 (Fourier Transform)，周期性连续信号：傅⽴叶级数 (Fourier Series)，⾮周期性离散信号：离散时域傅⽴叶变换 (Discrete Time Fourier Transform)，周期性离散信号：离散傅⽴叶变换 (Discrete Fourier Transform)。

傅⽴叶变换是数字信号处理领域⼀种很重要的算法。要知道傅⽴叶变换算法的意义，⾸先要了解傅⽴叶原理的意义。傅⽴叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的⽆限叠加。⽽根据该原理创⽴的傅⽴叶变换算法利⽤直接测量到的原始信号，以累加⽅式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。傅⽴叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⽴叶变换就表示f的谱。