2023年3月，一个由职业数学家和爱好者组成的小团队发表了一项重要的工作，他们发现了一个“帽子”图形，可以解决平面密铺领域的“爱因斯坦问题”。仅仅三个月后，他们再进一步，在帽子的基础上找到了无需镜像对称的非周期密铺图形。而这些惊人的发现，是从一位业余数学爱好者开始的。
2022年11月中旬，已退休的印刷技师David Smith有了充足的时间去做他最喜欢的事情之一：摆弄和设计拼图积木。借助名为PolyForm Puzzle Solver的软件包，他构建了一个看起来不起眼的形如帽子的瓷砖块。他想看看是否可以仅用这种形状的瓷砖不留缝隙又不重叠地覆盖平面。
他向志趣相投的好友、加拿大滑铁卢大学的计算机科学家Craig Kaplan描述了自己的作品，令后者意识到某种可能性。Smith和Kaplan随后又邀请另两位研究人员——美国国家数学博物馆和阿肯色大学的数学家Chaim Goodman-Strauss和英国剑桥的软件工程师Joseph Samuel Myers——加入他们的团队。
2023年3月20日，这支4人团队正式向数学界宣告，他们找到了所谓“Einstein问题”的解：Smith发现的帽子形瓷砖，以及由帽子形瓷砖连续变换生成的瓷砖族，全部都是可以非周期密铺全平面的单一形状瓷砖。一时整个数学界都为之震动。要知道，在过去半个世纪里，数学家连一块可以非周期密铺全平面的单一形状瓷砖都未能找到，结果Smith等人在不到半年的时间里，找到了无限多组。
实际上，Smith等人在使用帽子形瓷砖非周期密铺时，需要用到帽子形的镜像对称版瓷砖。在当前的语境下，我们默认，两个镜像对称的瓷砖，是同一种、同一形状的瓷砖。就像左、右手是镜像对称的，无法通过旋转和平移实现左右手的重合。两个镜像对称的瓷砖同样不能通过旋转和平移转化成彼此。既然如此，它们真的能叫“单一”瓷砖吗？
北京时间2023年5月30日凌晨，David Smith，Joseph Samuel Myers等4人发布了23页的新论文Achiral aperiodic monotile，宣布他们找到了最终的答案。他们找到了不借助镜像对称，仅通过旋转和平移可以非周期密铺的真单一形状的瓷砖，他们将其命名为“Spectre”。
他们发现，在一定规则下，这些多边形瓷砖的形状其实可被其中两条边的边长唯一决定。
他们因此用Tile (a, b)来表示这些多边形，a和b是特定边长的数值。按照这种表示法，帽子就是Tile (1, √3)。此外Tile (√3, 1)也是非常受关注的一种构型，它还有一个通俗的名字——海龟。海龟也能实现非周期密铺。对于Tile (a, b)，当a和b在一定范围内连续变化时，得到的瓷砖构型总是非周期密铺的。
他们发现，原来最后的答案就在自己的手边：如果只允许通过平移和旋转来铺设瓷砖，那么Tile (1, 1)能非周期密铺！一开始之所以Tile (1, 1)不成功，是因为他们把它放到了和帽子形同等的允许镜像对称的配置里。如果限制镜像对称Tile (1, 1)的使用，反而能实现非周期密铺！他们称Tile (1, 1)为“弱保手性非周期性单瓷砖”。因为如果要求加入镜像对称的瓷砖，则其必然不是本质非周期性的！
这也就是“弱手性”里“弱”的含义。
到此为止，他们真正找到了不借助镜像对称，仅通过旋转和平移，实现非周期密铺的单一形状的瓷砖。但他们还未满足。他们试图找到一种“强保手性非周期性单瓷砖”，大致上是说，即便允许加入镜像对称的瓷砖，你也用不上！要想密铺平面，我们只能用单一手性的瓷砖，且必然非周期的。他们利用Tile (1, 1)等边的方便属性，如下图一样巧妙地修改其边缘，便得到了Spectre，“幽灵”。
为了证明“幽灵”满足条件，最开始的时候，他们一度认为在“幽灵”上做计算会很有挑战性，因为它们不像之前的帽子和海龟——“幽灵”不是多边形。但Joseph发现，“幽灵”的每一种平铺都等价于帽子和海龟的混合平铺，这让他们可以在风筝网格这个漂亮的离散世界中工作。
他们证明“幽灵”可以拼成一个分层替代系统，也就是说，在任何由“幽灵”形成的平铺中，每个“幽灵”都包含在一个无限的、唯一的、越来越大的超级块的层次结构中。超级块是由多个“幽灵”按照一定的规则组合而成的更大的形状。这种分层替代系统保证了“幽灵”的非周期性，亦即它不可能形成有重复单元的平铺。