大数学家外尔 (Hermann Weyl，1885-1955) 曾说：“我的工作总是设法将真与美统一起来，但如果二者只能择其一，我通常会选择美。”在数学中，美的定理、美的证明，特征之一是“清楚简洁”。本文回顾了作者在十六年前的一篇论文中，对“矩阵行列式引理”的一个简洁优美的证明，介绍了线性代数里用于分块矩阵的高斯行列变换技巧。
撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）相遇“矩阵行列式引理”半年前，我审读了一篇投往《应用数学快报》 (Applied Mathematics Letters) 的文章。
在这篇关于迭代法的来稿里，有段话引起了我的兴趣：“Before proving the convergence of the new iterative scheme we generalize the so-called matrix determinant lemma of [4] for more general rank-r modifications”（在证明新的迭代方案的收敛性之前，我们将 [4] 中的所谓矩阵行列式引理推广到更一般的秩-r 修正）。
参考文献 [4] 正是我以及合作者于十六年前在同一家杂志上发表的论文“Eigenvalues of rank-one updated matrices with some applications”（《秩-1 校正矩阵的特征值及其一些应用》）。
吊起我胃口的是术语“矩阵行列式引理”，听作者的口气，似乎是我们的文章给出了这条“引理”，甚至还将加以命名。
但是，我对这个名称却是一无所知，那一天是第一次见到它，真是孤陋寡闻！好在如今资讯发达，在网上查询信息十分便捷。我在谷歌搜索输入词组 matrix determinant lemma，电脑屏幕上蹦出来的第一条信息是 Wikipedia（维基百科）的“Matrix determinant lemma”条目。
它的内容第一段是：“在数学中，特别是线性代数中，矩阵行列式引理计算可逆矩阵 A 与列向量 u 和行向量 vT 的二进积 uvT 之和的行列式。”
接下来，条目给出了这个引理的内容：假设 A 是可逆方阵，u 和 v 是列向量。那么矩阵行列式引理指出：det (A + uvT) = (1 + vTA-1u) det (A)。这里 uvT 是两个向量 u 和 v 的外积。
再接下来，便是上述行列式等式的证明了。令我惊讶（同时也有点窃喜）的是，证明援引的参考文献，也是我的那篇文章。由于 det (A + uvT) = det [A(I + A-1uvT)] = det (A) det (I + A-1uvT)，其中 I 代表与 A 同阶的单位矩阵，只需对 A 是单位矩阵 I 时证明矩阵行列式引理就够了。
而此时的等式 det (I + uvT) = 1 + vTu 实为对下列分块矩阵分解等式的两边各自求行列式：
并用上“矩阵乘积的行列式等于各因子矩阵行列式的乘积”这一在上面已经用过的事实，以及根据“块三角矩阵的行列式等于所有对角块行列式的乘积”性质得到的结果：分解式左端的行列式是 det (I + uvT)，而右端的行列式则为 1 + vTu。
最后，该条目叙述了矩阵行列式引理的推广：假设 A 是一个可逆的 n×n 矩阵，U 和 V 是 n×m 矩阵。那么 det (A + UVT) = det (Im + VTA-1U) det (A)。在 A = In 的特殊情形下，这就是韦恩斯坦-阿龙扎因恒等式 (Weinstein-Aronszajn identity)：det (In + UVT) = det (Im + VTU)。