乌克兰数学家维亚佐夫斯卡获得2022年菲尔兹奖，获奖理由是“证明E₈给出8维全等球体最密堆积，以及对相关极值问题和傅里叶分析中插值问题的进一步贡献。”她的获奖工作可谓是“菲尔兹奖少有的接地气的成果”——从研究问题本身来说，她所研究的是8维装球堆积密度最大的问题，我们很容易理解三维空间中的装球问题；而获奖理由中所叙述的“格”也并不复杂。
本文将用基本的数学知识介绍相关概念，特别是E₈格的特殊意义，它又如何与装球问题联系起来。
维亚佐夫斯卡（图源：EPFL）
这一获奖工作可谓是菲尔兹奖里少有的接地气的成果，普通人都能理解她到底证明了什么。从数学上说，她的获奖工作再次向世人展示了E₈格（以及利奇格）的重要性。那么，什么是E₈格？它又如何同装球问题联系起来的呢？
格（lattice），是大数学家高斯所定义的一个数学概念。我们拿二维格作为例子来说明格的定义。取一个平行四边形，将它平行移动，可以得到无数个同样形状和大小的平行四边形，使得它们铺满平面。这些平行四边形的顶点构成的集合就叫作一个二维格。最常见的二维格由平面上所有整点组成，也就是说，这些点在直角坐标系里的横纵坐标都是整数。相应于这一格的平行四边形就是边长为1的正方形。我们管这个格叫作正方形格。
E₈格是一个非常特殊的8维格。为了说明它为什么特殊，我们需要一些进一步的关于格的概念。在线性代数里，两个向量的内积是一个数。如果一个格中任何两个向量的内积都是整数，那么这个格就被称为整格。在这个定义里，当两个向量是同一个向量时，它们的内积就是向量长度的平方。所以整格中任何一个向量长度的平方都是整数。换句话说，整格中任两个格点之间距离的平方都是整数。
E₈格可以这样定义：它由里满足如下两个条件的点组成：第一个条件是，全部8个坐标的和是偶数；第二个条件是，所有坐标要么都是整数，要么都是半整数（即某个奇数的一半）。例如和在这个格中。但不在格中，因为全部坐标的和是3，不是偶数；也不在格中，因为坐标里既有整数，又有半整数。
装球问题（sphere packing problem）是一个来源于日常生活的问题：把同样大小的球堆积起来，怎么样才能使得密度最大？一种自然的堆积方式是，先把球铺排一层，使得每个球周围恰好有六个球与之相切。然后在适当的空隙上方再放置一层球，在适当的空隙下方也可以放置一层球。依此类推，铺至整个空间。容易算出，这种方法得到的堆积密度是。
2003年，微软研究院的科恩和哈佛大学的埃尔基斯发展了一种新方法来估计高维空间中最大的堆积密度。他们的方法需要用到一个辅助函数f(x)，使得f(x)与它的傅立叶变换满足一定的条件。这时最大堆积密度的上限就能用给出。使用这种方法，科恩和他的合作者证明了8维空间中最大堆积密度不超过E₈格堆积密度的1+10⁻¹⁴倍，而24维空间中最大堆积密度不超过利奇格堆积密度的1+1.65×10⁻³⁰倍。
这已经非常接近于证明E₈格和利奇格的堆积密度最大了，但还不是证明。
2016年，维亚佐夫斯卡花了两年时间，利用数论里的模形式，为E₈构造出了正确的辅助函数。她的论证没有用到非常抽象的现代数学知识，而是展示出了高超的数学技巧。她的构造，建立在两位跟拉马努金同等级别，但远没有那么出名的数学天才的工作基础之上，并加上了她自己的独特贡献。
迄今为止，装球问题只在1、2、3、8、24这五个维数得到解决，而泛最优性只在1、8、24这三个维数得到解决。为什么8维比4、5、6、7维更容易？即便这一领域的专家们也难以给出一个满意的回答。这其中或许有着非常深刻的原因。