任意两点之间的距离都是整数组成的集合，它是什么样子？这个看似简单的问题在Norman Anning和Paul Erdős 80年前取得结果后几乎没有进展。现在，三位数学家将组合学、数论和代数几何联系在一起，将问题变得更为复杂，结果却阐明了它应有的结构。
计划的改变发生在一次公路旅行中。
去年四月风和日丽的一天，数学家Rachel Greenfeld和Sarah Peluse从她们的单位——新泽西州普林斯顿高等研究院出发，前往纽约州的罗切斯特，她们两人都被安排在第二天发表演讲。她们近两年来一直在努力解决调和分析领域的一个重要猜想，该领域研究如何将复杂信号分解成分量频率。
她们与第三位合作者Marina Iliopoulou一起，研究了这样一个问题：其中各分量频率被表示为平面上的点，而这些点之间的距离与整数相关。这三名研究人员试图证明这些点的数量不可能太多，但到目前为止，她们所有的方法都失败了。
她们似乎在原地打转。Peluse灵机一动：如果暂时放弃调和分析问题，将注意力转向任意两点之间距离正好为整数的点集会怎样？这样的点集可能具有什么结构呢？自古以来，数学家们一直在试图理解整数距离集。例如，勾股数组（即毕达哥拉斯三元组，例如3, 4和5）表示直角三角形，其三个顶点之间的距离都是整数。
1945年，Norman Anning和Paul Erdős证明，平面上满足任意两点距离均为整数的无限点集必位于一条直线上。对于一个有限点集，可能性更加多样化。数学家们已经构建了位于直线或圆上的大型点集，有时还有三四个例外的点偏离主线。Greenfeld、Iliopoulou和Peluse已经证明，一个大型整数距离点集的所有点——也许除了少数几个异常点之外——必位于一条直线或圆上。
这种新方法使用了来自数学三个不同领域的思想和技巧：组合学、数论和代数几何。这些不同领域的结合“可能是一个真正的心理突破”，加州大学洛杉矶分校的数学家陶哲轩说。罗切斯特大学的Alex Iosevich对此表示赞同。“她们为一系列非常广泛的问题奠定了非常坚实的基础，”他说。“在我看来，毫无疑问，这将找到更深层次的应用。”
简单性的局限在平面上，选择一个所有点之间距离都是整数的无限集合是很容易的——只需取你最喜欢的一条直线，想象一条数轴线叠加在上面，并标出对应于整数的所有或部分点。但正如Anning和Erdős在1945年就认识到的那样，这是在平面上构建无限整数距离点集的唯一方式。原因可以归结为简单的几何学。
假设距离为整数的两点A和B，如果你想添加第三点C，它到A和B的距离都是整数，但不在过A和B的直线上，那么平面上的大多数点都不适用。
问题复杂化在2021年夏天，Greenfeld决定是时候尝试解决一个她自研究生以来一直在思考的调和分析问题。古典调和分析，构成了现实世界中信号处理的基础，其核心是将信号分解为不同频率和相位的正弦波。
这一过程之所以有效，是因为可以得出一个无限的正弦波列表，当它们组合在一起时，可以捕捉到任何信号的所有特征，而不会有任何冗余。然而，研究者们通常想要研究比一维信号更复杂的东西。例如，他们可能想要分解平面上的一个圆盘上的信号。但是，圆盘只能承载有限数量的兼容的正弦波——不足以捕捉圆盘上所有可能信号的行为。于是问题变成了：这个有限集合可以有多大？
有了这个框架，研究人员使用了来自数论的行列式方法。行列式是与矩阵相关联的数，它们刻画了一组点的许多几何属性——例如，一个特定的行列式可能度量了由三个点形成的三角形的面积。行列式方法提供了一种估计同时位于蜿蜒曲面和格点上的点数的方法——这正是Greenfeld、Iliopoulou和Peluse所处理的情况。