天上有多少颗星星，数学中就有多少个未解之谜。如果要我从数学中选出一颗最神秘的星星，那我一定会选著名的3n+1猜想。3n+1猜想的具体表述是非常简单的：对任何正整数n做如下变换，如果n是偶数，则让它变成n/2（也就是减半）; 如果n是奇数，则让它变成3n+1。任何一个正整数n，一直按照这个法则变换下去，最终会变成1。目前，人们对于小于10^18的数都已经验证了3n+1猜想。但验证和证明完全是两码事。
就是这样一个连小学生都能听懂的猜想，它的证明难倒了这个时代的所有数学家！现在已经无法确切考证3n+1猜想到底是谁先提出来的。但是有文献显示早在上个世纪30年代，德国数学家Lothar Collatz就考虑过类似问题，所以3n+1猜想经常被称作考拉茨（Collatz）猜想。由于3n+1猜想是由一个名叫角谷的日本人传到中国，所以在国内又称角谷猜想。
时至今日，关于3n+1猜想的研究也不是没有进展，比较有代表性的工作是Krasikov 和 Lagarias 在03年发表在《Acta Arithmetica》的论文中证明的结果：在比 n 小的整数中，能满足这个猜想的整数的个数至少是 c*n^0.84。其中c是一个固定常数。3n+1猜想并非一个孤立的猜想，而是一大堆类似猜想中最简单，最有代表性的一个例子。3n+1猜想本身也可以有许多的延拓和推广。
如果从1出发，运用逆向的变换法则，我们就会得到著名的考拉茨图（Collatz graph）。围绕考拉茨图（Collatz graph），从图论的角度，有许许多多很有意思的研究工作，但基本上都无助于解决3n+1猜想。
其实数学各个领域中都不乏著名的难题和猜想，比如黎曼猜想，多项式表达素数的一堆猜想，关于Artin L-函数的Artin 猜想，代数数n进制展开或连分数展开的Borel 猜想，群论中的伯恩赛得猜想，等等。这些猜想难度也是无法估量的，甚至影响整个分支的进展。然而3n+1猜想和上面这些数学猜想完全不一样，3n+1猜想代表的是哪一类数学，我们完全不知道。
我认为关于3n+1猜想的研究如果想取得重大进展，一定要彻底突破现有的数学思考范式。如果把上面提到的那些猜想比作数学未知海洋世界的冰山一角的话，那么3n+1猜想更像是从遥远而又神秘的未知世界透射过来的一缕微光。那是一个全新的数学世界，远远超越了当代所有职业数学家的数学想象力。