中国学者与统计物理学
刘寄星
2017年7月17—19日在西安陕西师范大学召开的“第四届全国统计物理与复杂系统学术会议暨海峡两岸统计物理会议”上，应组委会邀请，我为会议作了一个公众报告，以漫谈的形式回顾了中国学者与统计物理学发展的关系，听众为会议代表及众多对物理学感兴趣的师生。因报告引起了不少听众的兴趣，当时即有人建议将这个报告整理成文后发表，我以忙于译书为由而推托了。
不料5年之后，又有当年的几位与会者告诉我，这个报告对青年学者和学生了解中国科学发展的历史有帮助，建议我能整理成文字发表。后又有《物理》编辑部热情邀约，盛情难却，特根据当年的PPT文件整理成文，希望能对青年同志有所裨益。
统计物理学是理论物理学的重要分支，其研究的初衷是从物质的微观结构和相互作用出发，说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的性质。19世纪中期至20世纪前期，克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼和吉布斯等人相继奠定了统计物理学的基础。
从20世纪20年代起，中国物理学家逐渐加入统计物理学的研究，并取得一定成就。本文基本上按时间先后顺序，通过若干具体事例，以漫谈的形式介绍这些前辈学者们的成就及其意义，以期纪念先贤，激发后人。
1. 验证Maxwell速度分布律的两位中国实验物理学家——丁西林和葛正权
1859年Maxwell导出气体处于热力学平衡时的速度分布律，但当时无法把同一类气体分子放在一定的空间中进行实验验证。之后，随着一些新技术的发展，逐步出现了对Maxwell速度分布律的实验验证，最先是对电子，以后发展到对分子。
图1 丁西林(1893—1974)
最早对该定律进行验证的中国学者，是当时在英国伯明翰大学O. W. Richardson教授指导下学习的我国学者丁西林，他历时三年，改进了O. W. Richardson和W. H. Schottky在他之前进行的实验，利用热电子发射验证了Maxwell定律。
继丁西林之后，在验证Maxwell真空分布律方面做出重要成就的我国学者是葛正权。
图3 葛正权(1896—1988)
随着真空技术的发展，1920年代之后，验证Maxwell分布律的研究逐步转移到分子束实验。著名德国物理学家O. Stern用银蒸汽分子束实验获得银分子有着确定的速度分布的信息，但未能给出定量的结果。当时在美国加州大学伯克利分校攻读博士学位的葛正权经过近三年的艰苦努力，获得了此项定律的精确验证成果。葛正权这篇长达26页的论文是验证Maxwell速度分布律的有名文章，曾长期被许多专著和教科书引用。
2. 我国统计物理学研究的两位先驱和奠基者——王竹溪和张宗燧
在统计物理学研究中最早独立提出理论而为国际学界承认的中国学者是王竹溪和张宗燧。
20世纪30年代中期，统计物理学研究重点正处在从理想气体和低温固体等准自由粒子系统转向有比较强的相互作用的合作系统，此时合金及溶体的合作现象和相变问题成为研究热点。王竹溪和张宗燧先生正好在此时相继投入当时统计物理研究的重镇——英国剑桥大学理论物理学教授Ralph Fowler的门下，在当时的这个学术研究热点上做出了突出的成绩。
王竹溪在剑桥学习期间，先对较简单的吸附作用问题发展了一个普遍的统计理论，然后把其主要思想用到超晶格问题，推广成普遍理论，既适用于组元浓度相等，也适用于组元浓度不等的情形，而且处理的是相当普遍的一类长程相互作用，找到了计算超晶格位形配分函数的近似方法，从而在形式上给出了超晶格问题的普遍解。王竹溪的工作对贝特(Bethe)理论有明显改进，得到了与实验更接近的结果。
张宗燧在学习期间推广Bethe的金属合金相变理论到包括次近邻格点间相互作用的贡献，明显地改进了合金有序—无序相变的Bethe理论与实验符合的程度；他通过求出合金系统的巨配分函数，证明了Bethe近似与Guggenheim等人提出的准化学近似完全等价；严格证明了Bethe假设的两个组合公式，被称作“张宗燧组合公式”，此一结果被Fowler和Guggenheim收入到他们的名著《统计热力学》中作为第1323节。
3. 在非平衡统计物理学中做出杰出贡献的两位女物理学家——王明贞和王承书20世纪是非平衡态统计物理迅速发展并取得广泛应用的世纪。在此一世纪中，非平衡态统计物理的内容得到极大的充实和扩展。
首先，由克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼在19世纪创立的分子动理论从仅能处理稀薄单原子气体被发展到能处理固体、液体和气体非平衡输运特性的输运理论，并广泛应用于化学、生物学和化工、航空航天、能源、环境、大气等科学技术领域；其次，布朗运动理论成为非平衡态统计物理的重要内容，使得人们不仅能够精确处理受随机环境影响体系的运动规律，而且促进了随机过程数学理论与物理学的紧密结合，在天文、化学、生物、通信、计量以及其他领域得到大量应用。
20世纪40年代，我国的两位女物理学家王明贞和王承书在非平衡态统计物理学中做出了杰出贡献，她们二人的工作，分别在布朗运动和气体输运理论两个方面产生了深远的国际影响。巧合的是，与上述王先生和张先生都师从一位导师R. H. Fowler类似，指导这两位女物理学家博士论文的也是同一个人。
王明贞在密歇根大学学习期间，独立地从Fokker—Planck方程和Kramers方程中推导出了自由粒子和简单谐振子的布朗运动。后与导师Uhlenbeck合作，撰写了综述布朗运动理论的长篇论文，享誉国际。
王承书在美国期间，与其导师G. E. Uhlenbeck合作完成了多篇气体动理论的重要论文。
其主要贡献为：用半经典方法，通过修改Boltzmann方程碰撞项，导出适用于具有内部自由度的多原子气体的修正玻尔兹曼方程；用Chapman—Enskog方法解修正方程，研究了多原子分子气体的输运性质，得出单原子分子气体所没有的新粘滞系数——体积粘滞系数，而且发现，多原子分子气体导热系数与单原子气体有显著差别；对线性化Boltzmann碰撞算子的本征函数和本征值进行了透彻研究，严格证明了Maxwell气体情况下线性化Boltzmann碰撞算子的本征函数就是索南多项式；在讨论气体中声波色散时，把计算推进到三级近似，发现Maxwell气体的“高矩声波”；对激波层厚度等高速空气动力学问题进行了开创性探索，引起大量后续研究。
4. 杨振宁和李政道对统计物理学的贡献
杨振宁和李政道二位是国际知名的理论物理学家，他们二人在统计物理学方面也都做出过杰出的工作，杨振宁先生成绩更为显著。不过二人分别于1964年和1962年加入了美国国籍，不能再算是中国学者，所以这里只简单地介绍一下他们还是中国学者时做过的三件事，这三件事都有重要的国际影响。
第一件事是杨振宁关于相变的重要工作。早在西南联大时期，杨振宁得到王竹溪真传，在二元合金的有序—无序转变问题上做出了较好的工作。1946年赴美后，他花了许多时间钻研Onsager二维伊辛(Ising)模型准确解，独立完成了难度极大的关于二维Ising模型的自发磁化的论文，得到了1/8这一临界指数，有意思的是，他还启发了另一位中国物理学家在这方面的创造性工作。
第二件事是杨、李二人关于气液相变的工作。
1937年J. E. Mayer基于将位力系数表示成分子间作用势的积分，提出了气—液相变的统计理论，得到R. Fowler，M. Born等大家的支持。不过到了1950年前后，这个理论受到实验和理论两方面的质疑。1952年，杨振宁和李政道合作完成并发表了两篇关于相变理论的论文。两篇文章同时投稿和发表。
论文通过解析延拓的方法研究了巨配分函数的解析性质，发现它的根的分布决定了状态方程和相变性质，消除了人们对于同一相互作用下可存在不同热力学相的疑惑。这两篇论文指出，Mayer给出的以集团积分表示的状态方程只与气态有关，解释不了气液相变，澄清了Mayer理论对气—液相变带来的争论。文章发表后引起爱因斯坦的兴趣，并专门会见了二人。
第三件事是有关稀薄玻色子多体系统的研究。杨振宁在1957年左右与李政道及其他合作者(黄克孙、Luttinger等)发表或完成了一系列关于稀薄玻色子多体系统的论文。他们得到的能量修正中最令人惊讶的是著名的平方根修正项，但当时无法得到实验验证。不过，这个修正项随着冷原子物理学的发展而得到了实验证实。
5. 马上庚在临界现象理论中的工作
在统计物理学发展的历史上，1966年无疑是一个值得纪念的年份，因为这一年之后的不到十年间，人们对相变和临界现象的理解深入了大大的一步，这段期间，以1966年L. Kadanoff引入团块标度变换为起始，到K. Wilson引入重正化群方法达到高潮，不到十年，实验中发现的有关相变和临界现象的大量疑难问题在理论上得到了相当透彻的解决。
在1966年左右开始的临界现象研究的热潮中，有一位青年学者十分活跃，他就是来自中国台湾的马上庚。1972—1975年期间，在美国加州大学任教的马上庚在重正化群理论方面做出过重要贡献。1973年他在Review of Modern Physics，Vol 45：589发表重正化群理论的第一篇综述，就1/N的展开、标度变量和维度、铁磁和自旋玻璃的临界动力学等进行了深入讨论。
1976年他出版了专著Modern Theory of Critical Phenomena，现已成为这一领域的经典著作。
6. “文化革命”时期开出的两朵统计物理学之花
1966年正当国际上研究相变和临界现象的热潮兴起之际，中国大陆爆发了史无前例的“无产阶级文化大革命”，这场浩劫彻底地扫荡了中国的科学和文化的各个方面，使得我国此后十年内基础研究的成果几乎荡然无存。值得庆幸的是，在这期间，我国统计物理学花园中还是开出了两朵精致的小花。
其一为于渌、郝柏林的“连续相变临界指数的骨架图展开”一文。这篇论文是我国大陆学者在连续相变重正化群理论发展初期的唯一贡献。
1975年美国物理学会曾组织一个固体物理代表团到中国访问，调查、了解文革期间物理研究和教学的实际情况，代表团中包括了John Bardeen等4位诺贝尔奖获得者。在代表团的正式总结报告中，高度评价这个工作：“物理所磁学组的理论学家向我们描述了相当复杂、有想象力的连续相变临界指数计算，用的是重正化群和图解分析法，与西方及苏联当代最先进的研究类似。
……我们看到中国多数固体理论学家关注经典及半经典唯象理论，这项研究是引人注目的例外。”
其二为郝柏林与两位数学家联合发表的“三维晶格统计模型的一种封闭的近似解”。自L. Onsager于1944年发表长方格子上二维Ising模型的准确解并证明其确实存在相变，树立起统计物理学发展史上的一个里程碑以来，一直有人试图解决或宣称解决了三维Ising模型的准确解问题。
然而据我所知，迄今为止没有一个是真正成功的。在尝试过求解三维Ising模型的众多人物中，郝柏林可能属于少数没有完全空手而归者。文革初期郝柏林在比较二维Ising模型解法的基础上，提出一种以四元数做转移概率的三维无规行走模型，其严格解可以回到正确的二维Ising模型。经过他多年努力，并与许以超、石赫两位数学家合作，得出了三维Ising模型的一个封闭近似解。
7. 黄祖洽对输运理论的贡献
在运用和发展统计物理学的我国理论物理学家中，黄祖洽先生无疑是杰出的一位。黄祖洽在长期科研实践中运用和发展了输运理论，主要表现在：1954年给出中子输运理论中无限长黑圆柱情形下的米尔恩(Milne)问题的球谐函数展开近似解。
1955年底至1956年中参加接受苏联援助我国重水反应堆的理论设计时，结合反应堆结构复杂的实际情况，认真考虑了非均匀性对堆中中子输运的影响，发现苏联提供的设计中所给出的临界尺寸数据有误并在该反应堆启动时的临界实验中得到了证实。
在1960—1965年开展氢弹预研时，考虑到对象是一个在极高温度下起核反应的，包含轻核、重核、电子、中子和光子等粒子的混合系统，不能沿用通常气体分子运动论中使用的Boltzmann方程，而必须加以推广，使方程中能正确反映粒子间有可能起各种反应的事实。1961年在《关于起反应的粒子混合系统的运动论》一文中写出包含多体相互作用和反应的广义运动论方程组。
并在此基础上导出了带中子的辐射流体力学方程和反应动力学方程组。后者是核弹理论研究中经常用到的重要方程组之一。1982年以后，黄祖洽指导博士研究生丁鄂江对稀薄气体的非平衡输运和弛豫过程进行了研究。
发现在与速度变量相应的傅氏空间中，Boltzmann方程可以通过奇异扰动方法求解，而且在所得对小克努森(Knudsen)数的展开式中，可消去久期项，从而解决了Boltzmann方程求解时久期项难以消去这一历史难题。另外，该方法在各级近似中都导致纳维—斯托克斯(Navier—Stokes)流体力学方程组，而不会引到物理意义上有问题的Burnett方程。
原则上可利用这一方法去研究非平衡系统随时间的弛豫行为。
8. 中国科学院理论物理研究所“四人帮”的闭路格林函数研究
文革结束后，中国理论物理学家立足于国内，对统计物理学的发展做出了一项重要的贡献——闭路格林函数方法研究。这项研究把J. Schwinger在1961年建议、后来由L. Keldysh、R. Mills加以发展的闭路格林函数框架，发展成一套完整且实用的、可以统一处理平衡和非平衡统计物理问题的方法，引起了国际同行的广泛关注。
9. 结语
百年以来，我国一代又一代的学者，通过向西方学习、参与研究并在国内大力传播，代代相传，逐步在统计物理学的研究中取得了一定的创造性成果。对于先辈们为国家富强所付出的艰苦努力，我们充满敬意和感激；对于他们的科学成就，我们表示景仰。
然而，在讲述20世纪物理学发展历史的三卷本巨著《20世纪物理学》中，在有关热力学和统计物理发展历史的两章内提到的上百位有贡献的物理学家中，只提及了三个中国人的名字。
百年以来，我们国家在统计物理学研究中没有出现过可以与吉布斯(Gibbs)、能斯特(Nernst)、昂萨格(Onsager)、朗道(Landau)、威尔逊(Wilson)、久保亮五、Prigogine、博戈留波夫(Bogoliubov)、乌伦贝克(Uhlenbeck)等大师级学者的工作媲美的独创性工作。完成这一光荣使命的任务，责无旁贷地落在了在座诸君以及比你们更年轻的后来者身上。正是：
先辈开路历艰难，为国争光代代传；
统计物理攀高峰，唯赖后辈众青年。