为什么要证明？

下⽂编译⾃旧⾦⼭⼤学数学名誉教授 John Stillwell 为其新书 The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics 撰写的导读⽂章，他在⽂中通过毕达哥拉斯定理展示了“证明”的意义——“证明”是⽤任何⼈都能理解的陈述，来让我们相信本来不相信的东⻄。

The Story of Proof 讲述了⼀个⽣动的故事：数学如何发展新的概念和想法，以解决难题。对于任何对当代数学及其发展⽅式感兴趣的⼈，这本书都将⾮常有价值。

在许多年前的在⼀堂数学⼊⻔课上，⼀个学⽣问我：“为什么你要证明⼀切；为什么不直接告知我们呢？”从那以后，我⼀直在思考这个问题。理查德·戴德⾦在其1872年的著作中给出了简短⽽明智的答案，该书的英译本是 The Nature and Meaning of Numbers。

下⾯这段关于17世纪哲学家托⻢斯·霍布斯的轶事，可以更好地解释证明是如何起作⽤的，摘⾃约翰·奥布⾥有趣⽽古怪的故事集 Brief Lives。

因此，数学上的证明就是能让霍布斯相信最初他认为不可能的事情，通过每个⼈都可以接受的陈述——现在被称为公理——达到最终的结果。这就是公理化⽅法，在公元前300年左右，它由欧⼏⾥得的《⼏何原本》⾸次给出，⽽现在所有数学家都在使⽤它。

现在，我必须告诉⼤家令霍布斯震撼的“命题47”就是毕达哥拉斯定理（即勾股定理），现在⾼中⽣都很熟悉它。事实上，早在毕达哥拉斯（和欧⼏⾥得）之前，它就已被⼀些古⽼⽂明所理解了。⼤部分⼈都知道，这条定理是说：直⻆三⻆形中，斜边⻓度的平⽅等于另外两条边⻓度的平⽅之和。

为什么欧⼏⾥得要费尽⼼思来证明它呢？我们相信，答案就在于毕达哥拉斯定理的结论，它使毕达哥拉斯的世界陷⼊混乱：这就是2的平⽅根的⽆理性。

虽然公理化⽅法在原则上⽆懈可击，但实际撰写证明时很容易出现⼈为的错误。像其他⼈⼀样，数学家也会犯错，⽽在很⻓的证明中（这在20世纪变得很普遍），错误可能很难被发现。它们往往隐藏在作者跳过的⼀些冗⻓或重复的细节中，往往有诸如此类的评注，“这很容易检查”或“这个证明与以前的情况类似”。不过，避免错误是可能的，就像⼈们避免计算中的错误⼀样：通过机械化的过程。

这可以实现是因为⼀个完整的证明必须是每个合格的专业读者都能理解的，相当于不⽤思考就能检查，因此证明可以通过机器检验。

遗憾的是，编写机器可检查的证明需要⼤量的⼈⼒，并且他们要对相关数学有深⼊了解。到⽬前为⽌，只有少数真正很⻓的证明被重写成机器可检查的形式（⽽由⼈们撰写的原始证明确实是基本正确的）。在那些等待被改写为可机器检验的形式——甚⾄是只有数学专家才可以理解的形式⽽重写的证明中，最著名的例⼦就是所谓的abc猜想。

通过数学史上的关键事件，本书研究了“证明”（proof）概念的演变。从毕达哥拉斯定理⼀直到现代，旧⾦⼭⼤学教授 John Stillwell 认为，“证明”思维激发了数学创新活⼒，并在知识⽣产⽅⾯发挥了关键作⽤。