在⽇常⽣活中，除了在装修房⼦时需要考虑平铺瓷砖之外，我们很少会花⼼思关⼼平⾯“铺砌”（tiling）这件事。但对数学家来说，铺砌与许多难题有关。在铺砌领域，有⼀座数学家们在半个多世纪⾥⼀直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“einstein”，没错，这个词正是⼤名鼎鼎的物理学家爱因斯坦的名字！但在这⾥，它源⾃于德语中的ein Stein，即“⼀块⽯头”的意思，指的是单铺砌块（monotile）。
所谓的“爱因斯坦”，或者说单铺砌块，实则指的是⼀个可以填满⽆限平⾯，且不会⾃我重复的“⾮周期性”铺砌块。这里的“⾮周期性”意味着，由这种形状构成的整体图案，不能通过平移或旋转来恢复相同的图案。与⾮周期性铺砌对应的是周期性铺砌，⽐如⼀个国际象棋棋盘。假如有⼀个⽆限的国际象棋棋盘，它是可以通过平移两格来使其看起来完全⼀样的。⽽寻找⾮周期性、⾮重复性铺砌的例⼦则要困难的多。
数学家们发现的第⼀个⾮周期铺砌是由超过2万种形状组成的。在后续的研究中，数学家们逐渐将这⼀数字降低到92，再然后是6，最后是2，也就是著名的彭罗斯铺砌。在20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）使⽤两种不同的菱形，完成了⾮周期性铺砌。但这距离数学家们所追求的“爱因斯坦”还有很⼤距离。
⼀直以来，虽然数学家们在努⼒寻找只⽤⼀种形状就能做到这⼀点的单铺砌块，却从没有过真正的突破，他们甚⾄不确定这种形状是否真的存在。现在，他们可能终于找到了。3⽉20⽇，⼀个由数学家和计算机科学家组成的研究团队，在论⽂预印⽹站arXiv上提交了⼀篇论⽂，表示他们找到了这样⼀种由多个“⻛筝”粘在⼀起⽽形成的⼗三边形，他们将这种形状称为“帽⼦”。这是⼀个⾮常简单的多边形。
在这项⼯作之前，如果你问爱因斯坦是什么样⼦的，⼤部分数学家给出的尝试都会是⼀些⾮常复杂的形状。⽐如2011年，数学家Joshua Soclar和Joan Taylor就创造了⼀种⾮常复杂的⾮周期性的Taylor-Socolar铺砌。但这种铺砌涉及到多个不相连的碎⽚形成的结构，⾮常的混乱，它拓展了铺砌块的定义，严格来说并不能被认定为单铺砌块。研究⼈员表示，最新发现的形状是⾸个没有争议的单铺砌块。
在论⽂中，他们从两个⽅⾯论证了“帽⼦”就是⼀个“爱因斯坦”。虽然这篇论⽂还没有经过同⾏评审，但许多接受了采访的数学家都认为，这个结果似乎经得起严苛的审查。“帽⼦”的发现或许将对许多应⽤型的研究产⽣重⼤影响。例如2011的诺⻉尔化学奖，就授予了因发现准晶体的材料科学家。准晶体就是⼀种有着有序且永不重复的原⼦排列的材料，它们通常被描述为彭罗斯铺砌的类似物。
由此可⻅，新发现的⾮周期性单铺砌块很可能会引发材料科学的进展。此外，“帽⼦”也可以给艺术家们带来灵感。可以说，把“帽⼦”印在帽⼦上，或者其他⾐物或艺术品上，应该只是时间问题。不过，研究⼈员表示，帽⼦并不是终点，他们还将继续寻找更多的“爱因斯坦”。现在，这扇⻔已经打开，就让我们期待，还有更多新的形状带给我们惊喜。