爱因斯坦和哥德尔，是当年在普林斯顿⾼等研究院⾥经常⼀块⼉散步的⼀对忘年交。从1940年哥德尔正式受聘到普林斯顿⾼等研究院开始，⼀直到爱因斯坦⽣病去世的⼗⼏年间。爱因斯坦晚年时曾对经济学家奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）说，他⾃⼰的研究已经没有太⼤意义，每天还到⾼等研究院来，只是为了与哥德尔⼀起遛弯回家！
对公众⽽⾔，爱因斯坦的名字家喻户晓，但哥德尔却鲜为⼈知。哥德尔何许⼈也？
对科学有些什么杰出的贡献，才会使得爱因斯坦如此推崇他？库尔特·弗雷德⾥希·哥德尔（德语：Kurt Friedrich G?del，1906—1978），是⼀个出⽣于奥匈帝国，后半⽣在美国度过的数学家，被⼈誉为“亚⾥⼠多德之后最好的逻辑学家”。哥德尔⽐爱因斯坦晚出⽣27年，在1906年，爱因斯坦发表3篇重要论⽂之“奇迹年”后的第⼆年，哥德尔才呱呱坠地。
哥德尔天分极⾼，从⼩是个数学神童，喜欢寻根究底地问问题，在4岁时就得了⼀个“为什么先⽣”的绰号。在维也纳⼤学时，他曾经修读过理论物理，研究过相对论，之后专攻逻辑学和集合论。他最重要的数学成果：哥德尔不完全性定理，是他在25岁（1931年）紧接着博⼠论⽂之后完成的。
哥德尔不完全性定理包含两个定理：（1）⼀个包含了算术的任意数学系统，不可能同时满⾜完备性和⼀致性；（2）⼀个包含了算术的任意数学系统，不可能在这个系统内部来证明它的⼀致性。让我们⽤通俗（不太严格）的说法来理解哥德尔不完全性定理，以及他的证明⽅式。通俗⽽⾔，完备性指的是这个系统包括了所有它定义的对象，⼀致性指的是没有逻辑上的⾃相⽭盾。
所以，⾸先将两个定理翻译成通俗语⾔：（1）⼀个算术系统，要么⾃相⽭盾，要么总能得出⼀些⽆法包括于该系统中的结论；（2）不可能在⼀个算术系统内部，证明此系统是不⾃相⽭盾的。
哥德尔不完全性定理的数学证明过程⼗分复杂，但是该定理及其⽅法的核⼼思想，都是运⽤了“⾃指”（⾃我指涉）的概念，这个概念可以⽤著名的“理发师悖论”来说明。
某⼩镇上只有⼀个理发师，他将他的顾客群（系统）定义为“城中所有不给⾃⼰理发之⼈”。⼀天，当他想给⾃⼰理发时却发现“顾客”定义是⾃相⽭盾的。因为如果他不给⾃⼰理发，他⾃⼰就属于“顾客”，就应该给⾃⼰理发；但如果他给⾃⼰理发，他⾃⼰就不属于“顾客”了，但他给⾃⼰理了发，⼜是顾客，到底⾃⼰算不算顾客？该不该给⾃⼰理发？这逻辑似乎怎么也理不清楚，构成了“悖论”。
这位理发师定义的“顾客系统”要么是⾃相⽭盾的，要么是不完备的，因为“他⾃⼰”⽆法属于这个系统。完备性和⼀致性不可兼得，这就是哥德尔第⼀不完全性定理的含义。
进⼀步分析：如果我们想要证明这个“顾客系统”是⾃相⽭盾的，就必须得将“他⾃⼰”加进去，加进去才发现⾃相⽭盾，不加进去就不⾃相⽭盾。⽽加了他⾃⼰后的系统，已经不是他原来（未曾考虑⾃⼰时）定义的系统。
所以结论是，他不可能在他原来定义的系统内部，证明那个系统是⾃相⽭盾的，这就是哥德尔第⼆不完全性定理的含义。从以上分析可知，问题在于“包含⾃身”这种⾃指描述，例如，理发师“只为不给⾃⼰理发的⼈理发”，说谎者说“我正在说谎”，都是⾃指命题。哥德尔则模仿这些例⼦写出了⼀句话“这句话是不能证明的”。这种⾃指描述，被哥德尔⽤作他证明不完全性定理的重要⼯具。
“这句话是不能证明的”，如果你能证明这句话“对”，那你就得承认这句话是不能证明的，因此⾃相⽭盾！如果你能证明这句话“不对”，你就得承认这句话是可以证明的，那么，你就⽆法证明它不对。所以，结论是，⼀个算术逻辑系统中，必定有⼀些“既不能证实，也不能证伪”的命题。
哥德尔不是莫名其妙地去证明不完全性定理的，他开始的⽬的是为了解决著名德国数学家⼤卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）于1900年提出的“算术公理之相容性”。这个问题来源于希尔伯特的⼀个计划。他的⽬标是将整个数学体系严格公理化，成为建⽴在⼀套牢靠基础上的宏伟⼤厦。
说到公理化，众所周知的欧⼏⾥得⼏何是我们⼼⽬中公理化的例⼦，但是数学家与我们的标准不同，希尔伯特就认为欧⼏⾥得的《⼏何原本》是不严格的公理体系，最初的5条基本公设有很多基于直观的假设，⽽不是基于⽤严格数学语⾔定义的基础上。因此，他另写了⼀部《⼏何基础》，重新定义⼏何，将⼏何学从⼀种具体模型上升为抽象的、完备⽽⾃洽的普遍理论。
然后，希尔伯特认为，任何数学真理只要通过⼀代⼜⼀代⼈的努⼒，都能⽤逻辑的推理将其整合到这个数学公理⼤厦中。希尔伯特认为算术公理系统是最简单的，因此，希尔伯特提出关于⼀个算术公理系统相容性的问题，希望能以严谨的⽅式来证明任意公理系统内的所有命题是彼此相容⽆⽭盾的。换⾔之，希尔伯特将他的整个计划归结为在形式化的算术系统内部证明它的完备性、⼀致性和可判定性。
然⽽，哥德尔最后的结论粉碎了希尔伯特的梦想，证明希尔伯特的计划⾏不通，因为哥德尔证明了：包含了算术的数学整体（欧⽒⼏何不包括算术系统）如果不⾃相⽭盾的话，就⼀定是不完备的，⼀定有这么⼀些“⽆法证明它为真，也⽆法证明它为假”的命题存在。希尔伯特虽然遭受了打击，也不得不承认“不完备性定理对于数学和逻辑学上具有⾥程碑式的意义”。
⼈们认为哥德尔不完全性定理具有划时代意义，它的科学和哲学价值超过了数学领域，可以扩展到科学的各个⽅⾯，启发后⼈对哲学本质、世界基本问题的思考。美国《时代》杂志曾经评选出对20世纪思想产⽣重⼤影响的100⼈中，哥德尔被列为第四位。
不完全性定理表明“⼀致性与完备性不可兼得”，⼜使⼈们联想到量⼦物理中海森堡不确定性原理表述的“动量位置不能同时确定”的命题，于是有⼈认为这两个原理从哲学⻆度给出了⼈类能⼒发挥的极限。也有⼈进⼀步探究两个原理说法上的相似性，它们是否有深刻的内在联系？当年爱因斯坦和哥德尔⼀起散步，是否会⼀起讨论上⾯提出的问题？⽬前好像没有确切的资料证实（或证伪）这点。
追溯搜寻⼀下历史记录：哥德尔是1931年发表不完全性定理，普林斯顿⾼等研究院于1933年建⽴于普林斯顿⼤学的校园⾥。爱因斯坦、哥德尔、外尔等都是当年受邀的第⼀批成员。爱因斯坦于1933年10⽉抵达普林斯顿后便⼀直待下去，哥德尔很快返回了欧洲，后来（1934—1935）⼜来访过。
这些零散的时间段，两⼈讨论过什么，我们不得⽽知，但⾼等研究院最初兴旺发达的是数学，哥德尔肯定做过有关不完全性定理的演讲，爱因斯坦也许对逻辑和数学不那么感兴趣，但也应该知晓这个定理在数学界掀起的轩然⼤波。1935年，爱因斯坦与两位同事发表的EPR论⽂中，提出量⼦物理的“完备性”问题（之前还提过“⾃洽性”的问题），其想法以及这些逻辑学中的名词，很有可能来⾃哥德尔的⼯作。
1940年，哥德尔正式受聘于⾼等研究院，两⼈便开始经常⼀块⼉散步并聊天。我没有查到他们聊天的记录中有直接谈到与量⼦物理及不完全性定理相关的内容，但从普林斯顿其他⼈的回忆中，能够悟出⼀点他们互相之间的思想影响。
美国物理学家约翰·惠勒从1938年开始成为普林斯顿⼤学物理系教授，与爱因斯坦交往频繁。不过，当时的哥德尔已经⼤名鼎鼎，⼜少与⼈交往。所以，对⼩其5岁，才20多岁的惠勒不会⼗分熟悉。
算法理论专家格⾥⾼⾥·蔡廷（Gregory Chaitin）在他的书中曾有如下的描述：据说惠勒曾和两个学⽣⼀起去过哥德尔的办公室，想问他关于量⼦物理及不完全性定理之关系，哥德尔不喜欢这个问题，将他们“赶出”办公室。物理学家杰⾥⽶·伯恩斯坦（Jeremy Bernstein）在提到过此事。不过⼤多数⼈认为拜访过程不是那么戏剧性的。
据说当惠勒等问及此问题时，哥德尔转换了话题，要和他们讨论他正在研究的星系旋转的物理问题。⼀年之后，某次⼩聚会中，哥德尔向惠勒等解释了他为何不愿谈论量⼦⼒学中的⾮决定论与数理逻辑之关系，因为他曾经和爱因斯坦讨论过很久，他不相信量⼦⼒学和⾮决定论。
不管⼏位前辈如何看待不完备性与不确定性的关系，基本上可以认为，这两个原理在哲学上勾画出了⼈类知识的疆界、认识的极限。
⾄少给我们⼀点预警：有些东⻄，也许我们⼈类是永远不可能认识的。在明⽩哥德尔不完全性定理之前，许多⼈有某种潜在的观念，认为任何科学理论都应该要有逻辑性、⾃洽性和完备性。如今不完全性定理告诉我们：在同⼀个系统中，完备性和逻辑⾃洽不可兼得。也许可以如此理解，⼀个理论最后要求的完备性，不⼀定是包括在这个理论⾃身，⽽是存在于下⼀个更深层的理论中。
也就是说，正是因为⼀个理论中，完备性与⼀致性可能不相容，才提供了理论体系进⼀步发展的突破⼝。科学理论的发展只能是渐进的、分层次的，新理论也许可以超越旧的理论但却⽆法完全取代。