两点之间最快的路径是什么？能看到最后的都是学霸

两点之间最快的路径是什么？能看到最后的都是学霸

今天我们一起来观赏一下数学之美。这事儿和17世纪的一道谜题有关，直到后来微积分被建立起来以后才得正解。虽然问题不难，但结果惊艳。我先来问一个比较「二」的问题：两点之间最短的路径是什么？喏，别猜疑我是在逗你们，或拿非欧几何抖机灵，真心希望你们两手一摊就说是一条直线。现在我们来看一下这次节目我们要探讨的问题：如果AB两点是在空间中垂直放置的，那么这两点之间的最快路径是什么？

举几个图，如果我们将两点之间用铁线连接，上面穿一颗圆润的珠子，那么以下哪种姿势的路径可以让珠子以最快的速度从A点滑降到B点？注意，此问题中要加上重力加速度的情况下，考察那条铁线上的珠子最快降落到B点，给你两分钟时间……会不会是第一种直线的方式呢？无论如何，我们都知道这是两点之间最短的路径。所以珠子需要移动的距离是最短的，而且珠子不需要改变运行方向跑偏，严格按照起始的方向埋头滑到底。

会不会是第二种抛物线形式的路径最快？抛物线是种水平位移与垂直运动成平方关系的运动路径，更符合物体在自然界重力作用下的坠落轨迹。还有第三种跳台滑雪式的路径，它会是最快的一个么？走这种路径有个优势，就是在一开始会获得较高的加速度，当加速度达到最大的时候，把这种优势转化为较短的时间滑过后半程的水平位移上。

在17世纪末，扎堆出现了一大批杰出的数学家：牛顿、贝努里、惠更斯、莱布尼茨、钦豪申、罗比达……他们都在做这道题，出题的人是雅各布·伯努利他弟，约翰·伯努利：“我，约翰·伯努利，想找到世界上最棒的数学家。没有比出道难题更为难人，更能公平公正地爽到我了，能解决这个问题的人必能扬名立万，千古流芳。成为能与帕斯卡，费马等牛人齐名的大V。

请允许我代表整个数学界提出这个尤其能在今天考验大家的数学技巧和思维耐力的问题。如果有人能把答案递交与我，我会将其公开，并授予其应得的奖赏。”

这个问题存在一个最优解，这条曲线有一个拗口的名字，叫 Brachistonchrone 曲线。最速曲线的形状接近那个「跳台滑雪」，起始近乎的垂直加速让珠子获得了快速通过后半程水平位移的能力，平均速度最快。关于变量的计算，在这里要得到的最优解的计算，不是要将一个函数里的某个变量最小化，而是需要一个函数来把其他变量最小化。这就是「变分法」。

最速曲线对于建造过山车有巨大的指导意义，那些造过山车的工程师总要绞尽脑汁在有限的垂降距离里，尽快达到最高速爽到你。这在竞技体育上也大有用处。如果你是一个滑雪运动员，目标是最短时间冲线，你根本就不在乎两点间的最短路径，而是最快路径。如果你沿着最速曲线的路径下滑，你会获得更多的加速度优势。

在均一力场的框架下，「最速曲线」有时候也被称之为「等时曲线」。你可以把物体放在「等时曲线」的任何位置上，它们都将以相同的时间滑落到同一个位置。位置越高的物体，将以更快的速度，和位置较低的物体一起通过最低点。渐开线指的是一条描述摆臂上一动点沿着曲线运动，与所选切线上的交点的轨迹。

摆线齿轮现常见于自行车、手表、钟表上，除此以外，基本上都是渐开线齿轮的天下了。下次，如果你再看到山坡上寂寞翻滚的大石，请记起17世纪的那些大学霸们！