如果我们有两团自相缠绕的绳圈（数学上也叫纽结），它们能不能通过连续变形变到另外一个？注意这里可不能像亚历山大大帝那样用剑把绳子砍断，然后再把它们接起来。这是一个非常有趣的数学问题，而且是一个数学难题。对这个问题的深刻理解曾获得数学上的最高奖——菲尔兹奖。
解决这道题的一个思路，就是找一个算法，使得每一个扭结都能算出一个数。这个算法必须非常巧妙：当纽结连续变形时这个数必须保持不变。这样的数就被叫做纽结的拓扑不变量。当然这样的算法不是唯一的。扭结可以有各种不同种类的拓扑不变量。如果我们知道扭结所有可能的拓扑不变量，就可以对纽结所有可能的种类做一个完全分类，这样我们对纽结就有了一个全面的了解。
令人意想不到的是，这也是一个奇妙的物理世界。
由分数量子霍尔效应和量子自旋液体为代表的拓扑物态，就和数学中的扭结理论密切相关。拓扑物态比大家熟知的气态液态固态要神奇丰富得多。那如何来理解拓扑物态中的奥妙之处呢？拓扑物态会有各种各样的拓扑缺陷。当我们把这些点状的拓扑缺陷移来移去相互缠绕时，它们在时空上的轨迹就是一个扭结。而这些物理操作所导致的可以测量到的量，正好是时空上纽结的拓扑不变量。
实际上，不同种类的粒子正是由它们时空纽结的拓扑不变量来刻画的。玻色子、费米子、分数统计、非阿贝尔统计等等，都对应于纽结不同的拓扑不变量。
就这样，纽结漂亮的数学理论就变成了拓扑物态和拓扑序的数学基础。这是近代数学和近代物理的一次完美结合。数学中的纽结理论及它的推广——张量范畴学——和凝聚态物理中的拓扑物态拓扑序都是近年来非常活跃的领域。希望读者通过这篇文章，一窥近代数学近代物理中的神奇。
古人结绳记事。延续祖先的思维，我们用绳圈来描述粒子的轨迹，记录它们的运动，进而探讨绳圈数学的应用拓扑量子计算。绳圈的数学叫纽结论，是一门趣味盎然的学科。在此我们仅介绍新的纽结不变量琼斯多项式（Jones polynomial）及其在量子计算中的应用。如果读者有兴趣，我们推荐姜伯驹教授所著的《绳圈的数学》。纽结论不仅是一门高深的数学理论，在物理、生物和量子计算机学科中也有许多应用。
从上世纪八十年代开始，量子力学的思想深刻地影响着拓扑学的发展，形成了量子拓扑学。
无论是系领带，还是系鞋带，我们都是在用绳子打结。但日常生活中的结和数学家们研究的结有所不同。首先数学家用来打结的不是绳子，而是理想化的绳子——曲线；其次数学家的结是一个绳圈的模型——闭路线圈，也就是说绳子要首尾相连。如果不是首尾相连，那么不管多么复杂的结都能解开，也就是说变成直线段。纽结论是研究理想化的结的一门数学学科，它是拓扑学的一个重要分支。
平面上的圆代表数学家最简单的纽结，叫做平凡结。一个不能变成圆的纽结叫做非平凡结。是否存在非平凡结呢？只要我们用绳子做一些实验，就不难相信存在非平凡结，也就是死结。下面的结是最简单的非平凡结（左图），叫三叶结。许多水手爱打这个结（右图）。
1984年，新西兰数学家琼斯（V. Jones）发现了一个全新的纽结不变量，叫做琼斯多项式。琼斯多项式的发现引起了纽结论里的一场革命，进而推动了一个新的拓扑方向——量子拓扑的产生。琼斯多项式其实不是严格意义下的多项式，因为它的变量的次方可以是负整数和分数。